如何计算等角投影的畸变？

我正在尝试计算变形，以便使重叠的文本和表格变形以精确匹配等角投影的图像。

那么，如何在给定的纬度上以1：45,000,000（例如2000像素宽x 1000像素高）计算在给定纬度下的失真？

我一直在试图找出这篇文章及其链接无济于事： 如何创建一个准确的天梭Indicatrix？

我不是专业人士，只是一个非常感兴趣的业余爱好者，所以请为我哑巴！

非常感谢！

感谢您的及时答复！长话短说；我希望情况更清楚。

我正在使用Processing编程语言来可视化/映射数据，并希望将2D映射的数据（不同大小的字体和圆圈）包装到3D地球时看起来没有变形。数据是使用等角x，y映射的，而我要用作背景的地图都是这种投影，所以我假设我想“匹配”这种失真（例如，通过使用Tissot方程通过纬度计算失真）。使用编程语言，我可以精确地扭曲文本和圆圈。我认为我所需要的只是方程式，以正确地做到这一点。

这是原始的2D数据图：

包装后，它看起来像是扭曲的：

10,000美元的问题：当包裹在3D球体上时，如何使2D图像看起来不失真？

作为参考，以下是在“处理”论坛上提出的同一问题。

再次感谢！

如果我对您的理解正确，那么我不确定是否要重新投影为正交投影。我希望我的2D数据贴图可以包装到可以与之交互（即旋转）的3D球体模型。

我正在使用3D建模程序（电影院4D），用来自NASA 的2MB “蓝色大理石”图像（矩形矩形投影）包裹一个球体。

包裹后，它看起来与所有半球都没有变形（正射投影不只是一个半球？），请参见：仍来自上面的3D模型。（我猜想，建模程序正在旋转对象时为我做正投影。）因此，我认为，如果我以类似的方式扭曲2D数据贴图，它在3D球体上也将不会失真。这是我使用近似等矩形畸变的方程式拍摄的。您会注意到，包裹在3D球体上的2D图像中的卵形椭圆看起来像一个圆形。类似地，天梭椭圆形在3D球体上也显示为圆形。

这就是为什么我一直在看Tissot方程的原因……为了更精确地找出在不同纬度上等矩形投影的变形，因此我可以相应地使叠加层变形。

希望这一切都有道理。

也许您是对的，我应该使用GIS程序。我刚刚下载了Cartographica，然后看看是否可以解决。Mac软件对从事此任务的新手有何建议？

再次感谢。

包装到3D球体后，如何使2D图像看起来不失真？

图像坐标是经度和纬度，因此您要么

（a）取消投影，然后使用正投影或垂直近侧投影（即从太空看起来像世界的投影）重新投影，或

（b）使用lat-lon作为纹理坐标将其纹理映射到球的3D模型上，并使用3D图形渲染设备显示该球。

大多数GIS通常（a）定期执行。为了说明（b），这是从围绕纹理贴图球体的视点拍摄的问题中的“平面”贴图得出的一组图像：

（如果您仔细观察最右边的图像，您会在太平洋上看到一个突出的子午线：这是通过将地图的左右两侧包裹在一起而形成的“接缝”。）

产生其中之一的基本Mathematica命令是

SphericalPlot3D[1, {a, 0, \[Pi]}, {b, 0, 2 \[Pi]}, Mesh -> None, 
 PlotStyle -> {Texture[i]}, TextureCoordinateFunction -> ({#5, -#4} &), 
 Lighting -> {{"Ambient", White}}, 
 Boxed -> False, Axes -> False, Background -> Black]

这样可以减少原始问题（在球体上绘制“数据图”）来生成可正确显示圆的图。 最好的投影是Stereographic，因为它将球体上的所有圆（无论大小）投影到地图上的圆上。因此，如问题所示，一种在等角投影中正确绘制大圆的方法是在立体投影中创建它们，然后将其取消投影到地理坐标（纬度，经度）。使用（lon，lat）作为（x，y）直角坐标来制作地图等同于等角投影，因此适用于在球体上进行纹理贴图或应用正交投影。

请注意，天梭d度不适用于解决方案：它们仅代表无限小圆的局部变形。在大多数投影中，即使大到可以在全球范围内看到的圆圈也将不再显示圆形：在问题地图中见证其圆滑的外观。这就是为什么玩具有投影的游戏（如此处所示）对于获得良好解决方案至关重要。

假设绘制的形状覆盖了球体的一小部分，则应该能够通过将宽度缩放1 / cos（lat）并保持高度不变来实现。

形状越大，越靠近杆子，效果越差。

我不知道如何添加评论，因此将其添加到解决方案中，让主持人争先恐后地找出为什么我无法评论。

在阅读您的问题时，我的第一印象是“为什么不像墨卡托那样在保形投影中设计圆”。您可以将此地图投影到Mercator投影中，查看圆和文本变形，将所有内容固定为看起来不错，并且在将其投影到地球上时，形状应保持正确（即共形投影的定义）。

请参阅，您的第一个2D地图没有绘制地理特征。将它们添加到此地图（例如非洲等高线）中，然后将您正在考虑的变形立即应用于所有内容。地理也会被修改，当您将其放到球体上时，那是错误的。因此，我相信这个带有一些失真的想法是行不通的。

通过在面积有限且可接受的变形的小型2D地图中绘制图形，您可能会获得2D效果。您可以将2D地图切成图块，对于每个图块，使用它自己的“最佳”投影。

另一方面，在2D地图上给定半径的测地圆上创建点很容易。为此，您需要找到一个函数，该函数可以计算给定点与另一点之间的距离和方位角的经度/纬度（搜索“直接问题Vincenty”）。一旦知道了这一点，就可以通过将方位角从0更改为360来在距该点给定距离的位置生成一堆等距点。如果测地线圆包含一个极点或相交，则在2D中用这些点制作多边形需要更多的工作地图的左边界或右边界。在此处查看测地圆在平面地图上的外观。