自定义投影时如何确定投影参数

我正在尝试自定义Albers和Hotine斜墨卡托（HOM）投影，以最小化我正在分析的区域中的失真。该区域的纬度范围从大约51度到62度，覆盖了大约乌克兰大小的区域。该区域面向西北-SE。

我想确保使用正确的方法来确定两个投影参数：投影中心的经度/纬度和中心线方位角。我正在使用ArcMap v10。到目前为止，这是我遵循的过程：

1. 创建了一个定义分析区域的多边形（通常，通过围绕覆盖该区域的分水岭范围创建一个凸包）。这个多边形是我要为其定制投影的区域。
2. 将多边形投影到Geographic / NAD 83。
3. 使用Jeff Jenness的“图形和形状工具”
   （http://www.jennessent.com/arcgis/shapes_graphics.htm）确定GRS80椭球上多边形的质心。结果坐标是我用于“投影中心”参数的坐标。
4. 为了确定中心线方位角，我首先将多边形投影到一个方位角等距投影，在步骤3中确定的坐标处指定投影中心。
5. 然后，我绘制了一条折线（在方位角等距投影中），捕捉到投影中心点，代表区域多边形的方向趋势。为了获得投影中心的方位角，我使用了Jeff Jenness的“图形和形状工具”来确定测地曲线在中心点的起始方位角。
6. 对于Albers投影，我将使用步骤3中确定的投影中心的经度。还使用Bill Huber（http://forums.esri.com/Attachments/34278.xls）创建的出色电子表格来确定位置放置标准平行线以最小化多边形区域内的比例尺失真。

如果需要知道，我使用的是ArcMap的HOM版本，该版本使用由投影中心的一个点及其方位角定义的中心线。ESRI将其称为“ Hotine_Oblique_Mercator_Azimuth_Center”。在EPSG中，我相信这是Obcque Mercator，Hotine Variant B，EPSG方法代码9815。

我希望有一些投影专家可以告诉我上述过程（尤其是步骤3和4）是否是确定所需投影参数的正确方法。我在正确的轨道上吗？确定球体上的中心和测地线与中心点的角度（而不是“ 2d”几何中心和方位角）是否正确？

我希望问题描述清楚。我热切期待任何答案，技巧，讨论等！

问题中描述的方法在选择给定研究区域的投影时格外小心。这个答案的目的仅是在目标（最小化失真）和已经采取的步骤之间以及可以采取的步骤之间建立更直接的联系，以便我们可以确信这样一种方法将会成功（无论是在这里还是在将来的应用中）。

失真类型

它有助于更​​清晰，更定量地解决问题。当我们说“失真”时，我们可以指的是一些相关但不同的东西：

• 在投影平滑的每个点上（也就是说，它不是两个不同投影的“折叠”或连接的一部分，并且不在其边界或“撕裂”上），通常会随轴承的变化而发生比例失真。远离重点。在两个相反的方向上，失真最大。失真将在垂直方向上最小。这些被称为主要指示。我们可以根据主要方向上的失真来概括比例尺失真。

• 面积失真是主比例尺失真的乘积。

• 方向和角度也会变形。当地球上任意两个相交的路径映射到保证以相同角度相交的线时，投影就是保形的：保形投影保留了角度。否则，角度会变形。这可以测量。

尽管我们希望将所有这些失真最小化，但实际上这是不可能的：所有预测都是折衷方案。因此，要做的第一件事就是确定优先级：需要控制哪种失真？

测量整体失真

这些变形随点的不同而变化，并且在每个点上通常随方向变化。在某些情况下，我们期望进行覆盖整个感兴趣区域的计算：对他们而言，总体失真的一个很好的衡量标准是在所有方向上所有点的平均值。在其他情况下，无论如何，将失真保持在规定的范围内更为重要。对于他们来说，更合适的整体失真度量是整个区域遇到的失真范围，并考虑所有可能的方向。这两种方法可能有很大的不同，因此需要进行一些思考才能确定哪个更好。

选择一个投影是一个优化问题

一旦选择了一种测量失真并表达其在整个感兴趣区域中的值的方法，问题就会变得相对简单：从一个软件支持的投影中选择一个投影，并为该投影找到可允许的参数（例如其中心）。子午线，比例因子等），以最小化失真的总体度量。

在应用中，这并不容易实现，因为可能有很多投影，每个投影通常都有许多可以设置的参数，如果要使该区域的平均失真最小化，我们还需要计算这些平均值（每次更改任何投影参数时都要执行二维或三维积分）。然后，在实践中，人们通常采用启发式方法来获得近似的最佳解决方案：

• 确定适合该任务的一类预测。 例如，如果正确评估角度很重要，请限制为共形投影（如HOM）。当面积或密度的计算很重要时，请限制为相等面积的投影（例如Albers）。将子午线映射到平行的上下线很重要时，请选择一个圆柱投影。等等

• 在该课程中，通过经验集中于少数人，以适合自己的兴趣区域。通常根据可能需要投影的哪个方面（对于HOM，这是“倾斜”或旋转的方面）和区域的大小（全球，半球，大洲或更小）来做出选择。 ）。区域越大，您必须承受的失真就越大。对于国家规模或更小的区域，谨慎选择投影变得越来越不重要，因为失真不会变得那么大。

• 这使我们想到了当前的问题：选择了一些投影后，如何选择其参数？这是将其作为优化问题的早期工作的重点。 选择参数以最小化所选的整体失真度。 通常使用直观合理的起始值通过反复试验来完成此操作。

实际应用

让我们从这个角度检查问题中的步骤。

1）（感兴趣区域的定义。）使用凸包是一种简化。没关系，但是为什么不完全使用感兴趣的区域呢？GIS可以处理此问题。

2＆3）（找到一个投影中心。）这是获得中心的初始估计的好方法，但是-预测了以后我们将改变投影参数的阶段-不必对此大惊小怪。任何类型的“眼球”中心都可以开始。

4和5）（选择方面。）对于HOM投影，问题涉及如何定向。回想一下，标准墨卡托投影在赤道方面可以准确地绘制赤道及其附近的地图，但是随着距赤道的距离呈指数增加。HOM使用基本相同的投影，但是将“赤道”移到感兴趣区域上并旋转它。目的是将低失真赤道区域放置在大部分感兴趣区域上。由于远离赤道的畸变呈指数增长，因此要使整体畸变最小化，就需要我们注意距中心线最远的感兴趣区域。 因此，该游戏的名称是找到一条横切该区域的直线（球形测地线），使得（a）该区域的大部分尽可能靠近该直线（这将使平均失真最小化）或（ b）距该线最远的区域部分尽可能近（这将最大失真最小化）。

通过反复试验来执行此过程的一种好方法是猜测一个解决方案，然后使用交互式Tissot Indicatrix应用程序快速进行探索。（请参阅我们网站上的示例。有关所需的计算，请参阅https://gis.stackexchange.com/a/5075。）探索通常着重于投影将具有最大失真的点。TI不仅会测量各种失真-比例，面积，角度，方位-而且还会以图形方式描绘该失真。该图片值一千个单词（六个数字）。

6）（选择参数）此步骤做得非常好：这个问题描述了一种定量方法来评估Albers（等距相等区域）投影中的失真。有了电子表格，就可以很容易地调整两个平行度，以使最大失真最小。调整它们以最小化整个区域的平均失真要困难一些，因此很少这样做。

摘要

通过将投影选择定为一个优化问题，我们建立了明智且防御性地做出选择的实用标准。该程序可以通过反复试验有效地执行，这意味着初始选择参数不需要特别注意：经验和直觉通常足以使您有一个良好的起点，然后使用诸如Tissot Indicatrix应用程序和相关软件之类的交互工具进行操作。计算失真可以帮助完成工作。

抱歉，我将其发布在“答案”下。不确定是否合适（评论太长）。这是一个新网站吗？也许我应该已经提出了有关评估失真的相关问题？但是，上周，由于这篇文章，我正在研究一个想法，以评估与为HOM选择不同的投影中心，方位角和比例因子值相关的比例失真。之所以决定在此处发布此想法，是因为1）也许它将是一个有用的工具，可以用来帮助回答部分原始问题，以及2）我希望获得关于这听起来是否合理的反馈。

使用与用于评估Albers比例失真而创建的电子表格优化器相同的概念，创建一个电子表格，该电子表格填充有HOM的Snyder方程（椭圆形公式，“替代B”，“地图投影–工作手册”的第74页）。用户输入所选的椭球参数（a和e），以及“定制的”投影参数（投影中心的纬度/经度，中心线方位角，比例因子和虚假的东/北）。然后自动计算其余的投影常数。电子表格还包含跨投影区域的每个纬度/经度对的单元格（以半度为增量，或者需要任何增量）。更改任何投影参数时，将自动计算每个纬度/经度对的比例因子和校正坐标。现在，可通过数字方式评估比例因子：1）通过计算整个投影区域的比例失真的总体平均值和范围，以及2）可轻松将点坐标及其关联的比例因子导入ArcMap，以创建有关比例缩放方式的直观图片失真是分布的。显然，结果只是一个样本，并且会根据评估的经纬度位置而有所不同，但是这听起来很合理吗？