n个点的三边测量算法

我需要找到的算法，可以计算出重心甲（又名重心，几何中心，质量中心）从图中圆圈其中T1，T2，T3，T4，T5，...，Tn的交叉并线的长度[R从质心到该图的最远角

给出以下信息：

• T1纬度= 56.999883经度= 24.144473半径= 943
• T2纬度= 57.005352经度= 24.151168半径= 857
• T3纬度= 57.005352经度= 24.163356半径= 714
• T4纬度= 56.999042经度= 24.168506半径= 714
• T5纬度= 56.994226经度= 24.15709半径= 771

结果应如下所示：纬度= XX.XXXXXXX经度= XX.XXXXXXX半径= XX

您可能已经知道，我正在开发可以通过最近的Wifi接入点或移动基站查找设备位置的软件，因为接入点或基站的数量可能会发生变化，我需要一种能够适应不确定数量的点的算法。

这里和这里也有一些类似的问题，但是它们都不能完全回答我的问题。

半径测量值肯定会出现误差。我希望误差量与半径本身成正比。让我们假设测量在其他方面是无偏的。合理的解决方案然后使用加权非线性最小二乘拟合，权重与平方半径成反比。

这是在现有标准的东西（除其他事项外）的Python， R，数学，许多功能齐全的统计软件包，所以我只是说明它。以下是通过测量到设备位置周围五个随机访问点的距离（相对误差为10％）获得的一些数据：

Mathematica只需要一行代码，而没有可测量的CPU时间来计算拟合度：

fit = NonlinearModelFit[data, Norm[{x, y} - {x0, y0}], {x0, y0}, {x, y}, Weights -> 1/observations^2]

编辑 -

对于大半径，仅通过用Norm[{x, y} - {x0, y0}]计算球形或椭圆形距离的函数替换欧几里得距离，就可以找到更准确的（球形或椭圆形）解。在Mathematica中，例如，可以通过

fit = NonlinearModelFit[data, GeoDistance[{x, y}, {x0, y0}], {x0, y0}, {x, y}, 
        Weights -> 1/observations^2]

-编辑结束

使用这样的统计技术的一个优势是，它可以为参数（即设备的坐标）生成置信区间，甚至可以为设备位置生成同时置信椭圆。

ellipsoid = fit["ParameterConfidenceRegion", ConfidenceLevel -> 0.95];
fit["ParameterConfidenceIntervalTable", ConfidenceLevel -> 0.95]

绘制数据和解决方案很有帮助：

Graphics[{Opacity[0.2], EdgeForm[Opacity[0.75]], White, Disk[Most[#], Last[#]] & /@ data, 
  Opacity[1], Red, ellipsoid, 
  PointSize[0.0125], Blue, Point[source], Red, Point[solution],
  PointSize[0.0083], White, Point @ points}, 
  Background -> Black, ImageSize -> 600]

• 白点是（已知的）接入点位置。

• 大蓝点是真实的设备位置。

• 灰色圆圈代表测得的半径。理想情况下，它们都将在真实的设备位置处相交-但显然由于测量误差它们不会相交。

• 大红点是估计的设备位置。

• 红色椭圆形划出了设备位置的95％置信区域。

在这种情况下，椭圆的形状是令人感兴趣的：沿NW-SE线的位置不确定性最大。在这里，到三个接入点（到NE和SW）的距离几乎没有变化，并且在到另外两个接入点（到北和东南）的距离之间要权衡误差。

（在某些系统中，可以作为似然函数的轮廓获得更准确的置信区域；此椭圆只是对该轮廓的二阶近似。）

如果无误差地测量半径，则所有圆将至少具有一个相互相交的点，并且-如果该点是唯一的，则它将是唯一的解决方案。

此方法适用于两个或多个访问点。需要三个或更多来获取置信区间。当只有两个可用时，它将找到一个相交点（如果存在）；否则，它将找到一个相交点。否则，它将在两个访问点之间选择一个合适的位置。

在这种情况下，每个圆都与所有其他圆相交，因此我们可以这样确定交点：

首先确定所有n *（n-1）个交点。调用设置这些交叉点的我。取得包含最内点的点T的列表。然后，对于每个点p在我，是否p是每一个圆内。如果p在每个圆内，则此点为最内点的交点。将这样的点添加到列表T中。

现在您有了所需的交点坐标。我可以想到至少两种方法来预测位置：

1. 只需计算由T形成的多边形的质心（使用距离作为权重？），质心就是所需的位置。
2. 计算包含T的每个点的最小圆。然后，该圆的中心就是所需的位置。之后，计算R应该很简单。

另一个注意事项：首先使用自由空间路径模型（或变体）将信号强度转换为距离。我的看法是：您拥有任何训练数据集，您应该尝试使用某种学习技术而不是使用n = 2或n = 2.2作为固定值来查找路径损耗指数。