等角投影中的大圆线

只是为了检查我是否在正确的轨道上：

球体上和等矩形投影中的所有大圆（即纬度，经度对）是否为：

1. 经络（即极点）
2. 的形式 tan latitude = sin360(longitude + rotation) * amplitude + offset

（对偏移/振幅组合有附加限制-显然，所有振幅为0的大圆路径也都具有偏移0-赤道）。

还是存在不适合该方案的大圆路径（再次，仅在经纬度坐标系中，而不在其他地图投影上）。

注意：我tan在发布问题后添加了上述内容，以回应胡夫们的出色答复。事实证明，offset则始终为0。

尽管在某些投影中，大地测量学的确看起来有点像正弦波，但该公式是错误的。

这是等角投影中的一个测地线。显然这不是正弦波：

（背景图片取自http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Equirectangular-projection.jpg/800px-Equirectangular-projection.jpg。）

由于所有等角投影都是该坐标的仿射变换（其中x坐标是经度，y坐标是纬度），而正弦波的仿射变换仍然是正弦波，因此我们不能期望任何形式的测地线等角投影为正弦波（赤道绘制为水平线除外）。因此，让我们从头开始，制定正确的公式。

让这样的测地线的方程式为

latitude = f(longitude)

以便找到功能f。（这种方法已经放弃了子午线，不能以这种形式编写，但是完全可以通用。）转换为3D笛卡尔坐标（x，y，z）可以得出

x = cos(l) cos(f(l))
y = sin(l) cos(f(l))
z = sin(f(l))

其中l是经度，假定单位半径（不失一般性）。由于球体上的测地线是与平面的交点（穿过其中心），因此必须存在一个恒定的向量（a，b，c），该向量指向测地线的极点之间，为此

a x + b y + c z = 0

无论l的值是多少。求解f（l）得到

f(l) = ArcTan(-(a cos(l) + b sin(l)) / c)

如果c为非零。显然，当c接近0时，我们在极限中获得了一对相差180度的子午线，准确地说就是我们一开始就放弃的测地线。所以一切都很好。顺便说一句，尽管有出现，它仅使用了两个等于a / c和b / c的参数。

请注意，所有测地线都可以旋转，直到它们以零度经度越过赤道。这表明f（l）可以用f0（1-l0）来表示，其中l0是赤道交叉点的经度，f0是本初子午线测地线交叉点的表达式。由此我们得出等效公式

f(l) = ArcTan(gamma * sin(l - l0))

其中-180 <= l0 <180度是赤道交叉点的经度（当测地线向东移动时进入北半球），伽马为正实数。这不包括子午线对。当gamma = 0时，它指定赤道的起始点为经度l0；在这种情况下，如果我们希望唯一的参数化，我们可能总是取l0 = 0。仍然只有两个参数，这次由l0和gamma给出。

使用Mathematica 8.0创建图像。实际上，它创建了一种“动态操纵”，其中可以控制矢量（a，b，c）并立即显示相应的测地线。（这很酷。）首先，我们获得背景图像：

i = Import[
   "http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/\
    Equirectangular-projection.jpg/800px-Equirectangular-projection.jpg"]

这是完整的代码：

Manipulate[
 {a, b, c} = {Cos[u] Cos[v], Sin[u] Cos[v], Sin[v]};
 Show[Graphics[{Texture[i], 
    Polygon[{{-\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], \[Pi]/2}, {-\[Pi], \[Pi]/2}}, 
     VertexTextureCoordinates -> {{0, 0}, {1, 0}, {1, 1}, {0, 1}}]}], 
  Plot[ArcTan[(a Cos[\[Lambda]] + b Sin[\[Lambda]]) / (-c)], {\[Lambda], -\[Pi], \[Pi]}, 
   PlotRange -> {Automatic, {-\[Pi]/2, \[Pi]/2}}, PlotStyle -> {Thick, Red}]],
   {u, 0, 2 \[Pi]}, {v, -\[Pi]/2, \[Pi]}]