如何找到凸多边形内的最大面积矩形？

在这篇文章中，我们正在寻找关于如何在凸多边形内找到最大面积矩形的算法 / 想法。

在下图中，数字是拟合矩形的面积。如图所示，期望的矩形可以在每个维度上变化并且可以成任何角度。

编辑：

正如我们在这里所问的那样，我们尚无明确的主意如何处理提到的问题。尽管如此，我们猜测最大面积矩形可能是其中一个边缘与多边形边缘对齐（当然不一定是相同长度的边缘）的边缘之一。

一些注释太大而无法添加注释（尽管这并不意味着有明显的算法）：

划线（已编辑）：最大面积矩形的至少两个顶点必须位于多边形的边界上（即，沿着边缘或在顶点处）。并且如果最大面积矩形不是正方形，则多边形的边界上必须至少有三个顶点。

我通过四个步骤向我证明了这一点：

注意＃1：最大面积矩形的至少一个顶点将始终位于多边形的边界上。这是很明显的，但是一个证明可能会这样（由于矛盾）：假设您有一个“最大”矩形，该多边形的边界上没有顶点。这意味着每个顶点周围至少要有一点空间。因此，您可以稍微扩展矩形，这与矩形的最大值相反。

注意＃2：最大面积矩形的至少两个顶点将始终位于多边形的边界上。一个证明可能是这样的（再次是矛盾的）：假设您有一个“最大”矩形，边界上只有一个顶点（由注释＃1保证）。考虑不与该顶点相邻的两个边。由于它们的端点不在边界上，因此每个端点周围都有一点空间。因此，可以将这些边缘中的任何一个“挤出”一点，以扩大多边形的面积并使其最大值相矛盾。

注意＃3：最大面积矩形的两个对角相对的顶点位于多边形的边界上。（我们从注释2中知道，至少有两个，但不一定是彼此对面的。）但又是矛盾的，如果只有两个边界顶点是相邻的，则相反的边（两个顶点都不是）在边界上）可以挤出一点，从而增加矩形的面积并与矩形的最大值相矛盾。

注意＃4：（已编辑）如果最大面积矩形不是正方形，则其三个顶点将位于多边形的边界上。

为了证明这一点，假设情况并非如此，即最大面积的矩形不是正方形，但是多边形的边界上只有两个顶点。我将展示如何构造一个与最大值矛盾的更大的矩形。

调用矩形的顶点A，B，C，和D。在不失一般性的前提下，假定B和D是位于多边形边界上的两个。由于A和C都在多边形的内部，还有他们周围的一些回旋的余地（绕圆圈表示A，并C在下面的图片）。现在周围绘制矩形一个圈，滑点A，并C围绕相同的量圆一点（做A'和C'，如下图所示），以使新的矩形A'BC'D比原始矩形更方形。此过程将创建一个新的矩形，该矩形也位于原始多边形内，并具有较大的面积。这是一个矛盾，因此证明已经完成。

要相信这一证明，您必须说服自己，当圆内接的矩形变成“更大的正方形”（即，边长之间的差异变小）时，其面积就会增加。您还需要使多边形凸出，以便所有新线都在其中。可能还有其他一些小细节被掩盖了，但是我很确定它们都能解决。

关于问题中的绿色音符，我已经做了一个非常迅速和令人毛骨悚然的草图。我无法将其发布为评论，因此即使不是一个答案，我也必须写一个答案。
我相信在下面的图片中，我们有一个最大面积的矩形（不是完美的，这只是在Paint上绘制的草图以提供一个想法），而且我认为您找不到更大的矩形，而矩形与黑色胶边的边界...
但是我可能是错的，在这种情况下，您会道歉。

大多数其他算法会找到凸多边形中所刻的最大面积直线矩形，其复杂度为O(log n)。我认为您不认为最大面积多边形与边之一对齐是正确的，因为您要做的就是旋转多边形n时间，从而导致的复杂度O(n log n)，而在我的简要研究中，我无法找到说这很容易的任何东西。

然而，Knauer等人在论文《凸多边形中最大的内接矩形》一书中指出。等人描述了一种近似算法，可以使您接近正确的答案。

据我所知，该算法建立在已知的与轴对齐的最大面积多边形之一的顶部，然后对Polyon空间内的点进行随机采样，从这些随机采样生成多个轴，遍历这些轴并应用该轴对齐算法，然后返回该集合中最大的矩形。