量化多边形边界的不均匀度？

我有两个多边形：多边形1和多边形2。

我想使用面积和周长两个指标，定量地表示多边形1的周长/锯齿形/不规则周长比多边形2大。

在此处输入图片说明

每个多边形具有相同的周长，但每个覆盖的区域却截然不同。为了量化每个多边形的不平坦/锯齿/不规则性，计算应为：

area/perimeter

要么

perimeter/area

我以为是perimeter/area，但是后来我找到了这篇博客文章，其中使用area/perimeter：http : //www.r-bloggers.com/measuring-the-gerrymander-with-spatstat/

spatial-statistics

— 卢西亚诺
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这些比率均无意义，因为它们均取决于测量单位。您可以通过形成零度齐次函数（如周长/平方（面积））来使它们独立于单位。此类测量通常称为“曲折度”。可以通过在我们的曲折网站上搜索找到其他方法。

— ub

有什么问题 F1（X）/ F2（Y）或F2（Y）/ F1（X）并不是不同的量度，就像a与1 / a的不同量度一样。

— BradHards

@Bradhards许多人会争辩说a和1 / a是表示相同基础数量的不同方法，即使它们之间存在数学关系。这种关系的非线性意味着这不仅仅是单位的变化。这两个表述应被视为真正不同，就像（例如）对数浓度和浓度是表达浓度的不同方法一样，或者英里/加仑和英里/加仑本质上是表达燃油经济性的不同方法。（要注意，每英里的加仑数将被解释为浪费，而不是“经济”。）

— 笨拙

Answers:

看一下名为FRAGSTATS的程序（http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/downloads/fragstats_downloads.html）。在补丁指标部分中，它提到了“分形维数索引”，注释指出“分形维数索引很有吸引力，因为它反映了整个空间尺度（补丁大小）范围内的形状复杂性。因此，像形状指数（SHAPE）一样，它克服了直线周长面积比作为衡量形状复杂性的主要限制之一。” （http://www.umass.edu/landeco/research/fragstats/documents/Metrics/Shape%20Metrics/Metrics/P9%20-%20FRAC.htm）。

— 用户名
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我要补充一点，计算分形维数指数的公式看起来很简单，不需要FRAGSTATS软件本身。该公式显示在上面的链接中。分形维数指数对于具有非常简单的周长（例如正方形）的形状接近1，对于非常复杂的形状接近2。

— user14134 2013年

面积与周长的关系并不多，正方形和矩形可能具有相同的锯齿度，但周长相同，矩形越远离正方形，面积就越小。

要计算“锯齿度”，我认为您需要知道有多少个顶点的角度大于180度。如果使用的几何存储已知多边形的旋转方向（通常是逆时针，在这种情况下，如果从点1转到点2，则如果点3的角度超过180度），则计算起来应该不太困难。在点1和2定义的线的右边。否则，您需要先确定旋转角度。

— ISC的罗素
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这基本上就是我的想法。周边上某种“计数”的锐角。

— 2013年

该提议的问题在于，它取决于形状的表示方式多于形状本身，而不是形状本身，这使其变得任意且不可靠。例如，可以在不明显改变形状的情况下，用角度小于180度的两个非常紧密间隔的顶点序列替换形状上的每个尖点。该答复的重要性在于指出，如果不对“锯齿状”的含义进行操作说明，就无法回答该问题。

— ub

我假设“锯齿状”的意思是“具有凹度”。上面锯齿状的示例具有许多凹度。以，随着操作的描述中，没有办法来创建在一个多边形的凹部，而不产生大于180度相对于所述多边形的顶点的旋转方向的角度

— 拉塞尔在ISC

我还假设多边形不是自相交的。

— 罗素在ISC 2013年

@Russell很好，但是仍然不起作用。“凹度”可以由单个顶点或成千上万个紧密间隔的凹形顶点（例如，当通过减去其他特征的缓冲区创建特征时发生）表示。同样，问题是您的建议取决于形状表示的无关细节，而不是形状本身的固有属性。可以通过估计分形维数或总绝对曲率等多种方式来克服这一问题，但是您的答案似乎并没有朝那个方向发展。

— ub

尝试使用标准化周长索引（http://clear.uconn.edu/tools/Shape_Metrics/）。归一化的周长索引使用等面积圆对度量进行归一化。因此，该公式有效（在Python中，导入数学）normPeriIndex = (2*math.sqrt(math.pi*Area))/perimeter

例如：

多边形1：标准化周长指数= 0.358

多边形2：标准化周长指数= 0.947

归一化的周界索引将输入的周界与具有相同面积（相等面积的圆）的最紧凑的多边形进行比较，这意味着您可以使用它来标识具有不规则边界的要素。另一个很棒的事情是它很容易计算。

您还可以查看归一化色散，该色散计算出质心沿圆周的点与质心的平均距离（色散）。为此，您还将计算偏差，即每个距离与等面积圆的半径之间的平均差，则最终公式将为（色散-偏差）/色散。

— ld
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