使用3个纬度/经度点和3个距离进行三边测量？

我想找出一个未知的目标位置（纬度和经度坐标）。有3个已知点（纬度和经度坐标对），每个点到目标位置的距离（以千米为单位）。如何计算目标位置的坐标？

例如，说我有以下数据点

37.418436,-121.963477   0.265710701754km
37.417243,-121.961889   0.234592423446km
37.418692,-121.960194   0.0548954278262km

我想要的是一个函数的数学运算，该函数将其作为输入并返回37.417959，-121.961954作为输出。

我从http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html了解了如何计算两点之间的距离。我不知道的是使用此输入来计算该点所需的数学。

在浏览了一下Wikipedia并在StackOverflow上找到了相同的问题/答案之后，我想我会对此稍作尝试，并尝试填补空白。

首先，不确定输出的位置，但它似乎是错误的。我在ArcMap中绘制了点，将它们缓冲到指定的距离，在缓冲区上相交到，然后捕获相交的顶点以获得解。您建议的输出是绿色的点。我计算了标注框中的值，该值大约是ArcMap为从相交中得出的解决方案给出的值的3米。

Wikipedia页面上的数学还不错，只需将大地坐标转换为笛卡尔ECEF，即可在此处找到。如果您不使用椭圆，则a / x + h项可以替换为真实球体半径。

可能最简单的方法是给您一些记录良好的代码，所以在python中

import math
import numpy

#assuming elevation = 0
earthR = 6371
LatA = 37.418436
LonA = -121.963477
DistA = 0.265710701754
LatB = 37.417243
LonB = -121.961889
DistB = 0.234592423446
LatC = 37.418692
LonC = -121.960194
DistC = 0.0548954278262

#using authalic sphere
#if using an ellipsoid this step is slightly different
#Convert geodetic Lat/Long to ECEF xyz
#   1. Convert Lat/Long to radians
#   2. Convert Lat/Long(radians) to ECEF
xA = earthR *(math.cos(math.radians(LatA)) * math.cos(math.radians(LonA)))
yA = earthR *(math.cos(math.radians(LatA)) * math.sin(math.radians(LonA)))
zA = earthR *(math.sin(math.radians(LatA)))

xB = earthR *(math.cos(math.radians(LatB)) * math.cos(math.radians(LonB)))
yB = earthR *(math.cos(math.radians(LatB)) * math.sin(math.radians(LonB)))
zB = earthR *(math.sin(math.radians(LatB)))

xC = earthR *(math.cos(math.radians(LatC)) * math.cos(math.radians(LonC)))
yC = earthR *(math.cos(math.radians(LatC)) * math.sin(math.radians(LonC)))
zC = earthR *(math.sin(math.radians(LatC)))

P1 = numpy.array([xA, yA, zA])
P2 = numpy.array([xB, yB, zB])
P3 = numpy.array([xC, yC, zC])

#from wikipedia
#transform to get circle 1 at origin
#transform to get circle 2 on x axis
ex = (P2 - P1)/(numpy.linalg.norm(P2 - P1))
i = numpy.dot(ex, P3 - P1)
ey = (P3 - P1 - i*ex)/(numpy.linalg.norm(P3 - P1 - i*ex))
ez = numpy.cross(ex,ey)
d = numpy.linalg.norm(P2 - P1)
j = numpy.dot(ey, P3 - P1)

#from wikipedia
#plug and chug using above values
x = (pow(DistA,2) - pow(DistB,2) + pow(d,2))/(2*d)
y = ((pow(DistA,2) - pow(DistC,2) + pow(i,2) + pow(j,2))/(2*j)) - ((i/j)*x)

# only one case shown here
z = numpy.sqrt(pow(DistA,2) - pow(x,2) - pow(y,2))

#triPt is an array with ECEF x,y,z of trilateration point
triPt = P1 + x*ex + y*ey + z*ez

#convert back to lat/long from ECEF
#convert to degrees
lat = math.degrees(math.asin(triPt[2] / earthR))
lon = math.degrees(math.atan2(triPt[1],triPt[0]))

print lat, lon

我不确定自己是否天真，但是，如果您按大小缓冲每个点，然后与所有三个圆圈相交，这将为您提供正确的位置？

您可以使用空间API计算交集。例子：

• GeoScript
• Java拓扑套件
• NET拓扑套件
• 地球科学

以下注意事项使用平面几何（即，您必须将坐标投影到适当的局部坐标系中）。

我的推理和一个使用Python的有效示例如下：

取两个数据点（分别称为a和b）。叫我们的目标点x。我们已经知道距离ax和bx。我们可以ab使用毕达哥拉斯定理来计算距离。

>>> import math
>>> a = (1, 4)
>>> b = (3, 6)
>>> dist_ax = 3
>>> dist_bx = 5.385
# Pythagoras's theorem
>>> dist_ab = math.sqrt(abs(a[0]-b[0])**2 + abs(a[1]-b[1])**2)
>>> dist_ab
2.8284271247461903

现在，您可以算出这些线的角度：

>>> angle_abx = math.acos((dist_bx * dist_bx + dist_ab * dist_ab - dist_ax * dist_ax)/(2 * dist_bx * dist_ab))
>>> math.degrees(angle_abx)
23.202973815040256
>>> angle_bax = math.acos((dist_ax * dist_ax + dist_ab * dist_ab - dist_bx * dist_bx)/(2 * dist_ax * dist_ab))
>>> math.degrees(angle_bax)
134.9915256259537
>>> angle_axb = math.acos((dist_ax * dist_ax + dist_bx * dist_bx - dist_ab * dist_ab)/(2 * dist_ax * dist_bx))
>>> math.degrees(angle_axb)
21.805500559006095

不幸的是，我来不及为您完成答案，但是，现在您知道了角度，您可以计算的两个可能位置x。然后，使用第三点c可以计算出正确的位置。

这可能有效。在python中再次快速，您可以将其放在函数的主体中xN，yN =点的坐标，r1和r2 =半径值

dX = x2 - x1
dY = y2 - y1

centroidDistance = math.sqrt(math.pow(e,2) + math.pow(dY,2)) #distance from centroids
distancePL = (math.pow(centroidDistance,2) + (math.pow(r1,2) - math.pow(r2,2))) / (2 * centroidDistance) #distance from point to a line splitting the two centroids

rx1 = x1 + (dX *k)/centroidDistance + (dY/centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
ry1 = y1 + (dY*k)/centroidDistance - (dX /centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))

rx2 = x1 + (dX *k)/centroidDistance - (dY/centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))
ry2 = y1 + (dY*k)/centroidDistance + (dX /centroidDistance) * math.sqrt(math.pow(r1,2) - math.pow(distancePL,2))

rx和ry值是圆上两个交点的返回值（应位于数组中），如果有助澄清的话。

在前两个圆圈中执行此操作，然后在第一个和最后一个圆圈中执行此操作。如果第一次迭代的结果与第二次迭代的结果相比较（可能在一定公差范围内），那么您就有了交点。这不是一个很好的解决方案，尤其是当您开始在过程中添加多个点时，但这是最简单的方法，无需解决方程组。

您可以使用postgis中的空间API（St_Intersection，St_buffer函数）。正如fmark所注意到的，您还必须记住，Postgis使用平面算法，但是对于较小的区域，使用等距投影不会带来太大的误差。

用PHP语言完成：

//假设海拔= 0
$ earthR = 6371; //千米（= 3959英里）

$ LatA = 37.418436;
$ LonA = -121.963477;
$ DistA = 0.265710701754;

$ LatB = 37.417243;
$ LonB = -121.961889;
$ DistB = 0.234592423446;

$ LatC = 37.418692;
$ LonC = -121.960194;
$ DistC = 0.0548954278262;

/ *
＃使用真实领域
＃如果使用椭圆体，则此步骤略有不同
＃将大地纬度纬度/经度转换为ECEF xyz
＃1.将纬度/经度转换为弧度
＃2.将纬度/经度（弧度）转换为ECEF
* /
$ xA = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatA））* cos（deg2rad（$ LonA）））;
$ yA = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatA））* sin（deg2rad（$ LonA）））;
$ zA = $ earthR *（sin（deg2rad（$ LatA）））;

$ xB = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatB））* cos（deg2rad（$ LonB）））;
$ yB = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatB））* sin（deg2rad（$ LonB）））;
$ zB = $ earthR *（sin（deg2rad（$ LatB）））;

$ xC = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatC））*​​ cos（deg2rad（$ LonC）））;
$ yC = $ earthR *（cos（deg2rad（$ LatC））*​​ sin（deg2rad（$ LonC）））;
$ zC = $ earthR *（sin（deg2rad（$ LatC）））;

/ *
安装：
须藤梨安装Math_Vector-0.7.0
须藤梨安装Math_Matrix-0.8.7
* /
//包含PEAR :: Math_Matrix
// /usr/share/php/Math/Matrix.php
// include_path =“。：// usr / local / php / pear /”
require_once'Math / Matrix.php';
require_once'Math / Vector.php';
require_once'Math / Vector3.php';


$ P1vector =新的Math_Vector3（array（$ xA，$ yA，$ zA））;
$ P2vector =新的Math_Vector3（array（$ xB，$ yB，$ zB））;
$ P3vector =新的Math_Vector3（array（$ xC，$ yC，$ zC））;

＃摘自Wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
#transform在原点获得圆1
#transform在x轴上获取圆2

// CALC EX
$ P2minusP1 = Math_VectorOp :: substract（$ P2vector，$ P1vector）;
$ l =新的Math_Vector（$ P2minusP1）;
$ P2minusP1_length = $ l-> length（）;
$ norm = new Math_Vector3（array（$ P2minusP1_length，$ P2minusP1_length，$ P2minusP1_length））;
$ d = $范数；//保存calc D
$ ex = Math_VectorOp :: divide（$ P2minusP1，$ norm）;
// echo“ ex：”。$ ex-> toString（）。“ \ n”;
$ ex_x = floatval（$ ex-> _ tuple-> getData（）[0]）;
$ ex_y = floatval（$ ex-> _ tuple-> getData（）[1]）;
$ ex_z = floatval（$ ex-> _ tuple-> getData（）[2]）;
$ ex =新的Math_Vector3（array（$ ex_x，$ ex_y，$ ex_z））;

//计算i
$ P3minusP1 = Math_VectorOp :: substract（$ P3vector，$ P1vector）;
$ P3minusP1_x = floatval（$ P3minusP1-> _ tuple-> getData（）[0]）;
$ P3minusP1_y = floatval（$ P3minusP1-> _ tuple-> getData（）[1]）;
$ P3minusP1_z = floatval（$ P3minusP1-> _ tuple-> getData（）[2]）;
$ P3minusP1 =新的Math_Vector3（array（$ P3minusP1_x，$ P3minusP1_y，$ P3minusP1_z））;
$ i = Math_VectorOp :: dotProduct（$ ex，$ P3minusP1）;
//回显“ i = $ i \ n”;

// CALC EY
$ iex = Math_VectorOp :: scale（$ i，$ ex）;
// echo“ iex =”。$ iex-> toString（）。“ \ n”;
$ P3P1iex = Math_VectorOp :: substract（$ P3minusP1，$ iex）;
// echo“ P3P1iex =”。$ P3P1iex-> toString（）。“ \ n”;
$ l =新的Math_Vector（$ P3P1iex）;
$ P3P1iex_length = $ l-> length（）;
$ norm = new Math_Vector3（array（$ P3P1iex_length，$ P3P1iex_length，$ P3P1iex_length））;
// echo“ norm：”。$ norm-> toString（）。“ \ n”;
$ ey = Math_VectorOp :: divide（$ P3P1iex，$ norm）;
// echo“ ey =”。$ ey-> toString（）。“ \ n”;
$ ey_x = floatval（$ ey-> _ tuple-> getData（）[0]）;
$ ey_y = floatval（$ ey-> _ tuple-> getData（）[1]）;
$ ey_z = floatval（$ ey-> _ tuple-> getData（）[2]）;
$ ey =新的Math_Vector3（array（$ ey_x，$ ey_y，$ ey_z））;

// CALC EZ
$ ez = Math_VectorOp :: crossProduct（$ ex，$ ey）;
// echo“ ez =”。$ ez-> toString（）。“ \ n”;

// CALC D
//先做
$ d = floatval（$ d-> _ tuple-> getData（）[0]）;
// echo“ d = $ d \ n”;

// CALC J
$ j = Math_VectorOp :: dotProduct（$ ey，$ P3minusP1）;
// echo“ j = $ j \ n”;

＃来自维基百科
＃使用上述值进行插拔
$ x =（pow（$ DistA，2）-pow（$ DistB，2）+ pow（$ d，2））/（2 * $ d）;
$ y =（（pow（$ DistA，2）-pow（$ DistC，2）+ pow（$ i，2）+ pow（$ j，2））/（2 * $ j））-（（$ i / $ j）* $ x）;

＃这里只显示一种情况
$ z = sqrt（pow（$ DistA，2）-pow（$ x，2）-pow（$ y，2））;

// echo“ x = $ x-y = $ y-z = $ z \ n”;

#triPt是ECEF x，y，z为三边测量点的数组
$ xex = Math_VectorOp :: scale（$ x，$ ex）;
$ yey = Math_VectorOp :: scale（$ y，$ ey）;
$ zez = Math_VectorOp :: scale（$ z，$ ez）;

// CALC $ triPt = $ P1vector + $ xex + $ yey + $ zez;
$ triPt = Math_VectorOp :: add（$ P1vector，$ xex）;
$ triPt = Math_VectorOp :: add（$ triPt，$ yey）;
$ triPt = Math_VectorOp :: add（$ triPt，$ zez）;
// echo“ triPt =”。$ triPt-> toString（）。“ \ n”;
$ triPt_x = floatval（$ triPt-> _ tuple-> getData（）[0]）;
$ triPt_y = floatval（$ triPt-> _ tuple-> getData（）[1]）;
$ triPt_z = floatval（$ triPt-> _ tuple-> getData（）[2]）;


＃从ECEF转换回经/纬度
＃转换为度
$ lat = rad2deg（asin（$ triPt_z / $ earR））;
$ lon = rad2deg（atan2（$ triPt_y，$ triPt_x））;

回声$ lat。'，'。$ lon;