为什么FFT产生复数而不是实数？

即使算法的输入是一组离散的实数（整数），我们遇到的所有FFT实现都将产生复杂的值（具有实部和虚部）。

不可能仅用实数来表示频域吗？

FFT从根本上说是基础的改变。FFT改变原始信号的基础是一组正弦波。为了使该基础描述所有可能的输入，它必须能够表示相位和幅度。该阶段用复数表示。

例如，假设您对仅包含一个正弦波的信号进行FFT。根据相位，您可能会获得完全真实的FFT结果。但是，如果将输入的相位偏移几度，则FFT输出还能如何表示该输入？

编辑：这是一个有点松散的解释，但我只是想激发直觉。

FFT为您提供幅度和相位。幅度被编码为复数的大小（sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）），而相位被编码为角度（atan2（y，x））。为了从FFT得到严格的真实结果，输入信号必须具有偶数对称性（即x [n] = conj（x [Nn]））。

如果您只关心强度，则复数的大小足以进行分析。

是的，可以仅使用实数来表示严格实数输入的FFT频域结果。

FFT结果中的那些复数仅是2个实数，这两个都需要为您提供具有长度和方向角（或幅值和相位）的结果向量的2D坐标。FFT结果中的每个频率分量都可以具有唯一的幅度和唯一的相位（相对于FFT孔径中的某个点）。

单是一个实数不能代表幅度和相位。如果丢掉相位信息，如果尝试使用iFFT重建信号（信号不对称），则很容易使信号失真。因此，完整的FFT结果需要每个FFT仓2个实数。根据常规约定，这2个实数在复杂数据类型的某些FFT中捆绑在一起，但是FFT结果可以轻松地（某些FFT确实）产生2个实向量（一个用于余弦坐标，一个用于正弦坐标）。

也有直接产生幅度和相位的FFT例程，但是它们比产生复杂（或两个实数）矢量结果的FFT运行得慢。也有一些FFT例程，它们仅计算幅度并且仅丢弃相位信息，但是它们的运行速度通常不比让您在执行更通用的FFT之后自己执行的速度更快。也许他们以不可逆的代价为编码员节省了几行代码。但是很多库都不会费心去包含这些较慢且不太通用的FFT形式，而只是让编码器转换或忽略它们需要或不需要的内容。

此外，许多人认为参与是一个数学大量的使用复杂的算法（其中，对于严格的实际输入，余弦相关性，甚至部分的FFT结果放在实分量更优雅，和正弦相关或奇数组件FFT结果放入复数的虚数部分中。）

（添加：）此外，作为另一种选择，您可以考虑每个FFT结果仓的两个分量，而不是将它们视为实数和虚数分量，而将其视为偶数和奇数分量。

如果给定频率的FFT系数f是x + i y，你可以看看x作为在该频率的余弦的系数，而y是正弦系数。如果将这两个波添加到特定频率，则将获得该频率的相移波。这波的大小是sqrt(x*x + y*y)的大小等于，复数的大小。

的离散余弦变换（DCT）是傅立叶的相对变换其产生的所有实系数。许多图像/视频压缩算法都使用二维DCT。

1. 离散傅里叶变换从根本上说是从“时域”中的复数向量到“频域”中的复数向量的转换（我使用引号，因为如果您应用正确的比例因子，则DFT是它自己的逆）。如果输入是实数，则可以一次执行两个DFT：取输入向量x和y并计算F（x  +  i  y）。我忘记了以后如何分离DFT，但是我怀疑这与对称性和复共轭有关。

2. 的离散余弦变换排序的让你代表“频域”与实数，并且是在有损压缩算法（JPEG，MP3）常见的。（对我而言）令人惊讶的是，即使它似乎丢弃了相位信息，它仍然可以工作，但这似乎也使得它不能用于大多数信号处理目的（我不知道一种简单的方法来进行卷积/相关运算）。 DCT）。

我可能弄错了一些细节;）