哪个函数增长更快，指数增长或阶乘？[关闭]

哪个函数增长更快，指数增长（例如2 ^ n，n ^ n，e ^ n等）还是阶乘（n！）？附言：我只是在某个地方读书，n！增长速度快于2 ^ n。

n！最终比具有恒定基数（2 ^ n和e ^ n）的指数增长更快，但是n ^ n的增长比n！快！因为基数随着n的增加而增长。

n! = n * (n-1) * (n-2) * ...

n^n = n * n * n * ...

第一个输入项之后的每个项n^n都更大，因此n ^ n会增长得更快。

n^n变得大于n!-为了得到很好的解释，请参阅@AlexQueue的答案。

对于其他情况，请继续阅读：

阶乘函数的渐进性确实比指数函数大，但是当差开始时尚不清楚。例如，对于n=5和k=10，阶乘5!=120仍小于10^5=10000。为了发现阶乘函数何时开始变大，我们必须进行一些快速的数学分析。

我们使用斯特林公式和基本对数操作：

log_k(n!) ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)

k^n = n!
log_k(k^n) = log_k(n!)
n*log_k(k) = log_k(n!)
n = log_k(n!)

n ~ n*log_k(n) - n*log_k(e)
1 ~ log_k(n) - log_k(e)
log_k(n) - log_k(e) - 1 ~ 0
log_k(n) - log_k(e) - log_k(k) ~ 0
log_k(n/(e*k)) ~ 0

n/(e*k) ~ 1
n ~ e*k

因此，一旦n达到的3倍k，阶乘函数将开始大于指数函数。对于大多数现实情况，我们将使用的大值n和的小值k，因此在实践中，我们可以假设阶乘函数严格大于指数函数。

我想向您展示一种更加图形化的方法，以非常轻松地证明这一点。我们将使用除法来绘制函数图形，这将很容易向我们展示。

让我们使用一个基本且无聊的除法函数来解释除法的性质。

随着增加，对该表达式的评估也增加。随着b的减小，对该表达式的评估也随之减小。

使用这个想法，我们可以根据期望增加和减少的情况绘制图表，并比较增加速度更快的图表。

在我们的案例中，我们想知道指数函数的增长速度是否会比阶乘函数快，反之亦然。我们有两种情况，一个是可变指数与可变阶乘的常数，另一个是可变指数与可变阶乘的变量。

用Desmos绘制这些工具的图（无隶属关系，这只是一个不错的工具），向我们展示了这一点：

常数到变量指数与变量阶乘的关系图

尽管起初似乎指数表达式增加得更快，但是它达到了不再以如此快的速度增长的程度，取而代之的是阶乘表达式的增长更快。

变量到变量指数与变量阶乘的关系图

尽管它最初似乎较慢，但在该点之后开始迅速上升，因此我们可以得出结论，指数必须比阶乘更快地增长。

斯特林近似表明

$ n！\ approx \ sqrt {2 \ pi n} \ left（\ frac {n} {e} \ right）^ n $$