任意精度算术说明

我正在尝试学习C，并且遇到了无法处理非常大的数字（即100位数字，1000位数字等）的问题。我知道有可以执行此操作的库，但是我想尝试自己实现。

我只想知道是否有人可以或可以提供关于任意精度算术的非常详细，愚蠢的解释。

足够的存储空间和算法可以将数字视为较小的部分。假设您有一个编译器，其中an int只能是0到99，并且您想处理的数字最大为999999（为简化起见，我们只担心正数）。

您可以通过给每个数字赋予3 ints并使用您在小学应该（应该已经）学到的相同规则进行加，减和其他基本运算来做到这一点。

在一个任意精度的库中，用于表示我们的数字的基本类型的数量没有固定的限制，无论内存可以容纳多少。

例如123456 + 78：

12 34 56
      78
-- -- --
12 35 34

从最低端开始工作：

• 初始进位= 0。
• 56 + 78 + 0进位= 134 = 34（1进位）
• 34 + 00 + 1进位= 35 = 35（0进位）
• 12 + 00 + 0进位= 12 = 12（0进位）

实际上，这就是加法通常在CPU内部的位级别上如何工作。

减法是相似的（使用基本类型的减法并借位而不是进位），可以通过重复加法（非常慢）或叉积（更快）来进行乘法，除法比较棘手，但是可以通过对数字进行移位和减法来完成参与（您从小就学到的漫长的分裂）。

我实际上已经编写了库来使用最大的10的幂来执行此类操作，平方的平方可以将其乘以整数（以防止在将两个ints 相乘时发生溢出，例如将16位int限制为0到99平方时生成9,801（<32,768），或者int使用0到9,999生成32位以生成99,980,001（<2,147,483,648），这大大简化了算法。

注意一些技巧。

1 /在增加或增加数字时，请预先分配所需的最大空间，然后在发现过多空间时减少。例如，将两个100-“数字”（其中的数字是int）相加将永远不会给您超过101个数字。将12位数字乘以3位数字将不会产生超过15位的数字（加上数字计数）。

2 /为了提高速度，仅在绝对必要时才对数字进行归一化（减少所需的存储空间）-我的库将其作为单独的调用，以便用户可以在速度和存储空间之间做出选择。

3 /正负数的加法为减法，负数的减法与等价的正数相同。通过在调整符号后使add和减法相互调用，可以节省大量代码。

4 /避免从小数中减去大数，因为您总是会得到如下数字：

         10
         11-
-- -- -- --
99 99 99 99 (and you still have a borrow).

而是从11中减去10，然后取反：

11
10-
--
 1 (then negate to get -1).

这是我必须为此做的其中一个库的注释（变成了文本）。不幸的是，该代码本身已受版权保护，但是您可以选择足够的信息来处理这四个基本操作。下面假定-a和-b表示负数，并且a和b为零或正数。

对于另外，如果标志是不同的，否定的使用减法：

-a +  b becomes b - a
 a + -b becomes a - b

对于减法，如果符号不同，请使用加法：

 a - -b becomes   a + b
-a -  b becomes -(a + b)

还要进行特殊处理以确保我们从大数中减去小数：

small - big becomes -(big - small)

乘法使用入门级数学，如下所示：

475(a) x 32(b) = 475 x (30 + 2)
               = 475 x 30 + 475 x 2
               = 4750 x 3 + 475 x 2
               = 4750 + 4750 + 4750 + 475 + 475

实现此目的的方法包括一次提取32个数字中的每个数字（向后），然后使用加法计算要添加到结果中的值（最初为零）。

ShiftLeft和ShiftRight运算符用于将LongInt换位值快速乘以或除以a （对于“实数”数学为10）。在上面的示例中，我们将475加到零2次（最后一位数字32）得到950（结果= 0 + 950 = 950）。

然后我们左移475以获得4750，右移32以获得3。将4750归零3次以得到14250，然后加到950的结果中得到15200。

左移4750可获得47500，右移3可获得0。由于右移32现在为零，所以我们完成了，实际上475 x 32等于15200。

除法也是棘手的，但是基于早期算术（“进”的“ gazinta”方法）。考虑以下长除法12345 / 27：

       457
   +-------
27 | 12345    27 is larger than 1 or 12 so we first use 123.
     108      27 goes into 123 4 times, 4 x 27 = 108, 123 - 108 = 15.
     ---
      154     Bring down 4.
      135     27 goes into 154 5 times, 5 x 27 = 135, 154 - 135 = 19.
      ---
       195    Bring down 5.
       189    27 goes into 195 7 times, 7 x 27 = 189, 195 - 189 = 6.
       ---
         6    Nothing more to bring down, so stop.

因此12345 / 27是457有剩余6。校验：

  457 x 27 + 6
= 12339    + 6
= 12345

这是通过使用下拉变量（最初为零）来实现的，一次将12345的段降低一个，直到大于或等于27。

然后，我们简单地从中减去27，直到降至27以下-相减的次数就是添加到最上面一行的部分。

当没有更多细分可放时，我们得到了结果。

请记住，这些是非常基本的算法。如果您的数字特别大，则有更好的方法来执行复杂的算术运算。您可以研究GNU多精度算术库之类的东西，它比我自己的库快得多，而且更好。

它确实有一个不幸的功能，就是如果它用完了内存就会退出（我认为这对于通用库来说是一个致命的缺陷），但是，如果您能够超越它，那么它的功能就相当不错了。

如果您由于许可原因而不能使用它（或者因为不想让应用程序退出而没有明显原因），则至少可以从中获取用于集成到自己的代码中的算法。

我还发现，在在的BOD MPIR（GMP的一个分支）有更适合的潜在变化的讨论-他们似乎更开发者友好的一群。

重新发明轮子对您的个人教育和学习非常有益，但它也是一项艰巨的任务。我不想说服您将它作为一项重要的工作，而是我自己完成的一项工作，但是您应该意识到，较大的软件包正在解决一些细微而复杂的问题。

例如，乘法。天真的，您可能会想到“小学生”方法，即在另一个数字上方写一个数字，然后在学校学习时进行长乘法。例：

      123
    x  34
    -----
      492
+    3690
---------
     4182

但是此方法非常慢（O（n ^ 2），n为位数）。取而代之的是，现代bignum包使用离散傅立叶变换或数值变换将其转换为本质上为O（n ln（n））的运算。

这只是整数。当您使用某种数字的实数表示形式（log，sqrt，exp等）使用更复杂的功能时，事情就变得更加复杂。

如果您需要一些理论背景，我强烈建议您阅读Yap的书的第一章“算法代数的基本问题”。如前所述，gmp bignum库是一个出色的库。对于实数，我使用了mpfr并喜欢它。

不要重新发明轮子：它可能变成正方形！

使用经过尝试和测试的第三方库，例如GNU MP。

基本上用铅笔和纸来做...

• 该数字将在缓冲区（数组）中表示，该缓冲区可以根据需要采用任意大小（这意味着使用malloc和realloc）
• 您可以使用语言支持的结构来尽可能地实现基本算术，并手动处理进位和移动小数点
• 您搜寻数字分析文本以找到有效的参数以处理更复杂的函数
• 您只能根据需要实施。

通常，您将使用基本计算单位

• 包含0-99或0-255的字节
• 16位字伴随0-9999或0--65536枯萎
• 32位字包含...
• ...

根据您的体系结构。

选择二进制或十进制基数取决于您对最大空间效率，人类可读性以及芯片上是否缺少二进制编码十进制（BCD）数学支持的期望。

您可以通过高中数学来做到这一点。尽管实际上使用了更高级的算法。因此，例如添加两个1024字节的数字：

unsigned char first[1024], second[1024], result[1025];
unsigned char carry = 0;
unsigned int  sum   = 0;

for(size_t i = 0; i < 1024; i++)
{
    sum = first[i] + second[i] + carry;
    carry = sum - 255;
}

one place如果加法，结果必须更大一些，以确保最大值。看这个 ：

9
   +
9
----
18

如果您想学习，TTMath是一个很棒的图书馆。它是使用C ++构建的。上面的例子很愚蠢，但这通常是加法和减法的方法！

关于该主题的一个很好的参考是数学运算的计算复杂性。它告诉您要实现的每个操作需要多少空间。例如，如果您有两个N-digit数字，则需要2N digits存储乘法结果。

正如Mitch所说，到目前为止，实施起来并非易事！如果您了解C ++，我建议您看一下TTMath。

最终参考书（IMHO）之一是Knuth的TAOCP第II卷。它解释了许多表示数字的算法以及这些表示的算术运算。

@Book{Knuth:taocp:2,
   author    = {Knuth, Donald E.},
   title     = {The Art of Computer Programming},
   volume    = {2: Seminumerical Algorithms, second edition},
   year      = {1981},
   publisher = {\Range{Addison}{Wesley}},
   isbn      = {0-201-03822-6},
}

假设您希望自己编写一个大的整数代码，那么做起来可能非常简单，就像最近做过这个的人所说的（尽管在MATLAB中）。以下是我使用的一些技巧：

• 我将每个单独的十进制数字存储为双精度数字。这使许多操作变得简单，尤其是输出。尽管它确实占用了过多的存储空间，但是这里的内存却很便宜，并且如果您可以高效地对向量进行卷积，那么乘法将非常有效。或者，您可以将多个十进制数存储为双精度数，但是请注意，进行乘法的卷积会在很大的数上引起数值问题。

• 单独存储符号位。

• 两个数字的加法主要是将数字相加，然后在每个步骤中检查是否有进位。

• 最好将一对数字相乘作为卷积，然后再进行进位步骤，至少在使用快速卷积码的情况下如此。

• 即使将数字存储为单个十进制数字的字符串，也可以进行除法（也称为mod / rem ops）以一次获得大约13个十进制数字。这比一次只能使用1个小数位的除法效率更高。

• 要计算整数的整数幂，请计算指数的二进制表示形式。然后，根据需要使用重复的平方运算来计算功效。

• powermod操作将使许多操作（分解，素性测试等）受益。也就是说，当您计算mod（a ^ p，N）时，请在以p表示为二进制形式的幂运算的每个步骤中减少结果mod N。不要先计算a ^ p，然后尝试将其降低为modN。

这是我在PHP中所做的一个简单（天真）示例。

我实现了“加”和“乘”，并将其用作指数示例。

http://adevsoft.com/simple-php-arbitrary-precision-integer-big-num-example/

代码片段

// Add two big integers
function ba($a, $b)
{
    if( $a === "0" ) return $b;
    else if( $b === "0") return $a;

    $aa = str_split(strrev(strlen($a)>1?ltrim($a,"0"):$a), 9);
    $bb = str_split(strrev(strlen($b)>1?ltrim($b,"0"):$b), 9);
    $rr = Array();

    $maxC = max(Array(count($aa), count($bb)));
    $aa = array_pad(array_map("strrev", $aa),$maxC+1,"0");
    $bb = array_pad(array_map("strrev", $bb),$maxC+1,"0");

    for( $i=0; $i<=$maxC; $i++ )
    {
        $t = str_pad((string) ($aa[$i] + $bb[$i]), 9, "0", STR_PAD_LEFT);

        if( strlen($t) > 9 )
        {
            $aa[$i+1] = ba($aa[$i+1], substr($t,0,1));
            $t = substr($t, 1);
        }

        array_unshift($rr, $t);
     }

     return implode($rr);
}