为什么贪婪的硬币兑换算法不适用于某些硬币集？

我了解用于硬币找零问题的贪婪算法（如何用尽可能少的硬币数目支付一定的金额）如何工作-它总是选择面额最大的硬币而不超过剩余金额-并且总是能找到正确的解决方案特定的硬币套。

但是对于某些硬币集，贪婪算法的总和会失败。例如，对于集合{1, 15, 25}和总和30，贪婪算法首先选择25，剩下的余数为5，然后选择5个1表示总共6个硬币。但是，使用最少数量的硬币的解决方案是选择15次两次。

一组硬币必须满足什么条件，以便贪婪算法找到所有和的最小解？

可以通过使用贪婪方法来构成拟阵（https://en.wikipedia.org/wiki/Matroid）来解决硬币兑换问题。简而言之，拟阵是满足以下条件的有序对M =（S，l）：

1. S是一个有限的非空集
2. l是S的一个非空子集，称为独立子集，因此，如果B-> l并且A是B的子集，则A-​​> l
3. 如果A-> l，B-> l和| A | <| B |，那么有一些元素x-> BA使得AU {x}-> l

在我们的硬币更换问题中，S是按降序排列的所有硬币的集合。我们需要通过S中最少的硬币个数来获得V的值

在我们的例子中，l是一个包含所有子集的独立集合，因此对于每个子集，以下内容均成立：它们中的值之和为<= V

如果我们的集合是拟阵，那么我们的答案是l中的最大集合A，其中不能再添加x

为了进行检查，我们看一下拟阵的属性是否在集合S = {25,15,1}中成立，其中V = 30现在，l中有两个子集：A = {25}和B = {15,15} | A | <| B |，那么有一些元素x-> BA使得AU {x}-> l（根据3）因此，{25,15}应该属于l，但这是自25 + 15> 30以来的矛盾

因此，S不是拟阵，因此贪婪方法对它无效。

在任何情况下，如果没有硬币的价值加到最低面额的硬币都比面额的两倍小，且硬币的面额立即小于硬币的面额，贪婪算法就会起作用。

即{1,2,3}之所以起作用是因为[1,3]和[2,2]相加相同的值，但是{1，15，25}不起作用是因为（对于更改30）15 + 15> 25 +1

这是一个复发问题。给定一组硬币{Cn, Cn-1, . . ., 1}，例如，1 <= k <= n, Ck > Ck-1如果Ck> Ck-1 + Ck-2，则贪婪算法将产生最少数量的硬币，对于该值V=(Ck + Ck-1) - 1，将贪婪算法应用于硬币的子集{Ck, Ck-1, . . ., 1}，其中Ck <= V导致硬币的数量大于将贪婪算法应用于硬币子集的数量{Ck-1, Ck-2, . . ., 1}。

测试很简单：对于`1 <= k <= n，测试贪婪算法针对Ck + Ck-1-1的值生成的硬币数量。对硬币集{Ck，Ck-1，。。。，1}和{Ck-1，Ck-2，。。。，1}。如果对于任何k，后者产生的硬币数量均少于前者，则贪婪算法将不适用于该硬币组。

例如，在n = 4的情况下，考虑硬币集{C4，C3，C2，1} = {50,25,10,1}。从k = n = 4开始，然后V = Cn + Cn-1-1 = 50 + 25-1 = 74作为测试值。对于V = 74，G {50,25,10,1} = 7个硬币。G {25，10，1} = 8个硬币。到现在为止还挺好。现在让k = 3。那么V = 25 + 10-1 = 34。G {25，10，1} = 10个硬币，但G {10，1} = 7个硬币。因此，我们知道贪婪算法不会最小化硬币集{50,25,10,1}的硬币数量。另一方面，如果我们向此硬币组添加一个小点，则G {25，10，5，1} = 6且G {10，5，1} =7。同样，对于V = 10 + 5-1 =在图14中，我们得到G {10，5，1} = 5，但是G {5,1} =6。所以，我们知道，贪婪在{50,25,10,5,1}起作用。

这就引出了一个问题：满足贪婪算法的硬币面额应该是多少，这对于从1到100的任何值，导致最坏情况的硬币数量最少？答案很简单：100个硬币，每个硬币的取值范围从1到100。这可以说不是很有用，因为它可以在每次交易中线性搜索硬币。更不用说铸造许多不同面额并追踪它们的开销了。

现在，如果我们要首先最小化面额数量，然后第二次最小化Greedy产生的从1到100的任何值的最终硬币数量，则硬币的2的次幂：{64，32，16，8，4 、、 2、1}的结果是：对于任何值1：100（7位数字中最大1的数目，其值小于十进制100），最多产生6个硬币。但这需要7种面额的硬币。这五个面额{50，25，10，5，1}的最坏情况是8，发生在V = 94和V = 99。幂为3 {1、3、9、27、81}的硬币也只需要5个面额的格里迪币即可使用，但最差的情况是产生8个面额为62和80的硬币。最后，使用这5个面额中的任何一个{64、32、16、8、4、2、1}的子集，不能排除'1'并且满足贪婪，也将导致最多8个硬币。因此，存在线性权衡。将面额数量从5增加到7会减少表示1到100之间的任何值所需的最大硬币数量从8减少到6。

另一方面，如果您想最大程度地减少买卖双方之间交换的硬币数量，假设它们各自的口袋中每种面额至少有一个硬币，那么这个问题就等于平衡任何硬币所需的重量最少。重量从1到N磅。事实证明，如果以3的幂给出硬币面额，则购买中交换的硬币数量最少。{1, 3, 9, 27, . . .}。

参见/puzzling/186/whats-the-fewest-weights-you-need-to-balance-any-weight-from-1-to-40-pounds。

如果由贪婪算法改变而给出的硬币数量对于所有数量都是最佳的，则硬币系统是规范的。

本文提供了一种O（n ^ 3）算法来确定硬币系统是否规范，其中n是不同种类硬币的数量。

对于非规范的硬币系统，c贪婪算法会产生一定数量的次优硬币。c被称为反例。如果最小的反例大于最大的单个硬币，则该硬币系统是紧密的。

今天，我在Codeforces上解决了与此类似的问题（链接将在最后提供）。我的结论是，要使硬币找零问题能够由Greedy alogrithm解决，它应满足以下条件：

1.按升序对硬币值进行排序时，大于当前元素的所有值都应被当前元素整除。

例如硬币= {1，5，10，20，100}，这将给出正确的答案，因为{5,10，20，100}都可被1整除，{10,20，100}都可被5整除，{ 20,100}全部可被10整除，{100}全部可被20整除。

希望这能给您一些想法。

996 A-打彩票 https://codeforces.com/blog/entry/60217

一个容易记住的情况是，任何一组硬币，如果它们按升序排序并且您具有：

coin[0] = 1
coin[i+1] >= 2 * coin[i], for all i = 0 .. N-1 in coin[N]

然后使用这种硬币的贪婪算法将起作用。

根据您查询的范围，可能会有更好的分配（根据所需硬币的数量）。例如，如果您正在考虑范围（6..8），并且您使用硬币<6，7，8>而不是<1,2,4,8>。

在N +上完成的硬币的最有效分配是与上述规则相等，给您硬币1，2，4，8 ...; 仅仅是任何数字的二进制表示。从某种意义上说，碱基之间的对话本身就是一种贪婪算法。

在此讨论中，Max Rabkin提供了关于> = 2N不等式的证明：http : //olympiad.cs.uct.ac.za/old/camp0_2008/day1_camp0_2008_discussions.pdf