Big-O表示法O(n)和Little-O表示法有o(n)什么区别？
大O和小O表示法之间的区别
Answers:
f∈O（g）本质上说
对于常数k > 0的至少一种选择，您可以找到一个常数a，使得不等式0 <= f（x）<= kg（x）对于所有x> a成立。
请注意，O（g）是该条件成立的所有函数的集合。
f∈o（g）说，本质上
对于常数k > 0的每个选择，您都可以找到常数a，使得不等式0 <= f（x）<kg（x）对于所有x> a成立。
再次注意，o（g）是一个集合。
在Big-O中，仅需要找到一个特定的乘数k，对于该乘数k，不等式保持在某个最小值x之上。
在Little-o中，必须保证存在一个最小值x，只要将k设为负数或零，无论将k设为多小，不等式都成立。
两者都描述了上限，尽管有点违反直觉，Little-o是更强有力的陈述。如果f∈o（g），则f和g的增长率之间的差距比f∈O（g）时大得多。
差异的一个例证是：f∈O（f）为真，而f∈o（f）为假。因此，Big-O可以理解为“ f∈O（g）表示f的渐近增长不快于g's，而“ f∈o（g）意味着f's的渐近增长严格快于g's”。就像<=vs 一样<。
更具体地说，如果g（x）的值是f（x）的常数倍，则f∈O（g）为真。这就是为什么在使用big-O表示法时可以删除常量的原因。
但是，要使f∈o（g）为真，则g必须在其公式中包含x 的更高幂，因此f（x）与g（x）之间的相对距离实际上必须随着x的增大而增大。
要使用纯数学示例（而不是引用算法）：
以下内容适用于Big-O，但如果使用little-o则不适用：
- x²∈O（x²）
- x²∈O（x²+ x）
- x²∈O（200 *x²）
以下是适用于little-o的情况：
- x²∈o（x³）
- x²∈o（x！）
- ln（x）∈o（x）
注意，如果f∈o（g），则意味着f∈O（g）。例如x²∈o（x³），因此x²∈O（x³）也成立（同样，将O视为<=o并将o视为<）
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是的-区别在于两个函数是否在渐近上相同。直觉上，我喜欢想到“大-O”的意思是“增长不快于”（即以相同的速度或更慢的速度增长），而“小-O”的意思是“增长绝对慢于”。
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菲尔
复制到维基百科？这比那里的要好得多。
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cloudurfin 2014年
@SA是的。在这种棘手的情况下，我给出的关于“ x的更高幂”的简单规则显然不适用。但是，如果您查看下面Strilanc的答案中给出的更严格的限制定义，您想知道的是lim n-> inf（2 ^ n / 3 ^ n）=0。因为（2 ^ n / 3 ^ n） =（2/3）^ n并且因为对于任何0 <= x <1，lim n-> inf（x ^ n）= 0，所以确实2 ^ n = o（3 ^ n）。
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Tyler McHenry
请注意“在Little-o中，必须确保存在一个最小值x，只要不小于k，只要不小于k或不为零，不等式都成立。” 不是“每个
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GA1
a都有k……”，而是“每个k都有a……”
“在Little-o中，必须确保存在一个最小值x，只要将k设为负数或为零，无论将k设为多小，不等式都成立。” 不，这是不正确的。
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菲利波·科斯塔
大澳是小邻为≤是<。大O是一个包容的上限，而小O是严格的上限。
例如，函数f(n) = 3n是：
- 在
O(n²)，o(n²)和O(n) - 不是
O(lg n)，o(lg n)或o(n)
类似地，数字1为：
≤ 2，< 2和≤ 1- 不是
≤ 0，< 0或< 1
这是一张表，显示了总体思路：
（注意：该表是一个很好的指南，但其限制定义应使用上级限制而不是正常限制。例如，3 + (n mod 2) 永远在3到4之间振荡。O(1)尽管没有正常限制，它仍然处于，因为它仍然具有a lim sup：4.）
我建议记住Big-O表示法如何转换为渐进比较。比较起来比较容易记住，但灵活性较差，因为您不能说n O（1） =P。
我有一个问题：第3行和第4行（限制定义列）有什么区别？您能举一个4成立（lim> 0）但不成立3的例子吗？
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蒙面侠
哦，我知道了。Big Omega适用于lim> 0，Big Oh适用于lim <infinity，Big Theta适用于两个条件都满足的情况，这意味着0 <lim <infinity。
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蒙面侠
对于f∈Ω（g），不应该将无穷大的极限计算为> = 1吗？同样对于f∈O（g），1 = <c <∞？
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user2963623
@ user2963623否，因为严格高于0的有限值（包括0到1之间的值）对应于“相同的渐进复杂度，但是不同的常数因子”。如果您忽略小于1的值，则在常量因子空间而不是渐近复杂性空间中将有一个截止点。
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Craig Gidney 2015年
@ubadub您在集合上广播了幂运算。这是个松散的符号。
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Craig Gidney '18
我发现，当我无法从概念上掌握某些内容时，思考为什么要使用X有助于理解X。（并不是说您还没有尝试过，我只是在做准备。）
[您知道的东西]一种常用的算法分类方法是通过运行时，并通过引用算法的大哦复杂度，您可以很好地估算出哪种算法“更好”-哪种算法具有“最小”功能在O！即使在现实世界中，O（N）也比O（N²）“更好”，除非有超质量常数之类的愚蠢事物。[/你知道的东西]
假设有一些算法可以在O（N）中运行。还不错吧？但是，假设您（您是出色的人，您）想出了一种以O（N ⁄ loglogloglogN）运行的算法。好极了！它更快！但是，当您撰写论文时，您会一遍又一遍地写作而感到愚蠢。因此，您只需编写一次，就可以说：“在本文中，我证明了以前可以在时间O（N）进行计算的算法X实际上可以在o（n）进行计算”。
因此，每个人都知道您的算法更快-还不清楚多少，但是他们知道它更快。从理论上讲。:)