我遇到了一些有效的时间复杂度计算斐波那契的方法，以下是其中一些-
方法1-动态编程
现在，这里的子结构是众所周知的，因此我将直接跳转到解决方案-
static int fib(int n)
{
int f[] = new int[n+2]; // 1 extra to handle case, n = 0
int i;
f[0] = 0;
f[1] = 1;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
return f[n];
}
以上内容的空间优化版本可以按以下方式完成-
static int fib(int n)
{
int a = 0, b = 1, c;
if (n == 0)
return a;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return b;
}
方法2-（使用矩阵{{1,1}，{1,0}}的幂）
这个O（n）依赖于以下事实：如果我们n次将矩阵M = {{{1,1}，{1,0}}与其自身相乘（换句话说，计算出power（M，n）），则我们得到第（n + 1）个斐波那契数作为结果矩阵中行和列（0，0）的元素。该解决方案将具有O（n）时间。
矩阵表示形式为斐波那契数给出了以下闭合表达式：fibonaccimatrix
static int fib(int n)
{
int F[][] = new int[][]{{1,1},{1,0}};
if (n == 0)
return 0;
power(F, n-1);
return F[0][0];
}
/*multiplies 2 matrices F and M of size 2*2, and
puts the multiplication result back to F[][] */
static void multiply(int F[][], int M[][])
{
int x = F[0][0]*M[0][0] + F[0][1]*M[1][0];
int y = F[0][0]*M[0][1] + F[0][1]*M[1][1];
int z = F[1][0]*M[0][0] + F[1][1]*M[1][0];
int w = F[1][0]*M[0][1] + F[1][1]*M[1][1];
F[0][0] = x;
F[0][1] = y;
F[1][0] = z;
F[1][1] = w;
}
/*function that calculates F[][] raise to the power n and puts the
result in F[][]*/
static void power(int F[][], int n)
{
int i;
int M[][] = new int[][]{{1,1},{1,0}};
// n - 1 times multiply the matrix to {{1,0},{0,1}}
for (i = 2; i <= n; i++)
multiply(F, M);
}
可以对其进行优化以解决O（Logn）时间复杂性的问题。在前面的方法中，我们可以进行递归乘法以获得幂（M，n）。
static int fib(int n)
{
int F[][] = new int[][]{{1,1},{1,0}};
if (n == 0)
return 0;
power(F, n-1);
return F[0][0];
}
static void multiply(int F[][], int M[][])
{
int x = F[0][0]*M[0][0] + F[0][1]*M[1][0];
int y = F[0][0]*M[0][1] + F[0][1]*M[1][1];
int z = F[1][0]*M[0][0] + F[1][1]*M[1][0];
int w = F[1][0]*M[0][1] + F[1][1]*M[1][1];
F[0][0] = x;
F[0][1] = y;
F[1][0] = z;
F[1][1] = w;
}
static void power(int F[][], int n)
{
if( n == 0 || n == 1)
return;
int M[][] = new int[][]{{1,1},{1,0}};
power(F, n/2);
multiply(F, F);
if (n%2 != 0)
multiply(F, M);
}
方法3（O（log n）时间）
下面是一个更有趣的递归公式，可用于查找O（log n）时间中的第n个斐波那契数。
如果n是偶数，则k = n / 2：F（n）= [2 * F（k-1）+ F（k）] * F（k）
如果n为奇数，则k =（n + 1）/ 2 F（n）= F（k）* F（k）+ F（k-1）* F（k-1）这个公式如何工作？该公式可以从上述矩阵方程式导出。Fibonaccimatrix
取两边的行列式，我们得到（-1）n = Fn + 1Fn-1 – Fn2此外，由于对于任何方阵A，AnAm = An + m，可以得出以下恒等式（它们是从两个不同的系数矩阵乘积）
FmFn + Fm-1Fn-1 = Fm + n-1
通过让n = n + 1，
FmFn + 1 + Fm-1Fn = Fm + n
放m = n
F2n-1 = Fn2 + Fn-12
F2n =（Fn-1 + Fn + 1）Fn =（2Fn-1 + Fn）Fn（资料来源：维基）
为了证明该公式，我们只需要执行以下操作：如果n为偶数，我们可以放k = n / 2如果n为奇数，我们可以放k =（n + 1）/ 2
public static int fib(int n)
{
if (n == 0)
return 0;
if (n == 1 || n == 2)
return (f[n] = 1);
// If fib(n) is already computed
if (f[n] != 0)
return f[n];
int k = (n & 1) == 1? (n + 1) / 2
: n / 2;
// Applyting above formula [See value
// n&1 is 1 if n is odd, else 0.
f[n] = (n & 1) == 1? (fib(k) * fib(k) +
fib(k - 1) * fib(k - 1))
: (2 * fib(k - 1) + fib(k))
* fib(k);
return f[n];
}
方法4-使用公式
在此方法中，我们直接实现Fibonacci级数中第n个项的公式。时间O（1）空间O（1）Fn = {[（√5+ 1）/ 2] ^ n} /√5
static int fib(int n) {
double phi = (1 + Math.sqrt(5)) / 2;
return (int) Math.round(Math.pow(phi, n)
/ Math.sqrt(5));
}
参考：http : //www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibFormula.html