重叠圆的合并区域

我最近遇到一个问题，我有四个圆（中点和半径），必须计算这些圆的并集面积。

示例图片：

对于两个圈子来说，这很容易

我可以计算出不在三角形内的每个圆面积的分数，然后计算三角形的面积。

但是，当有两个以上的圆圈时，是否可以使用一种聪明的算法？

在外周上找到所有圆的交点（例如下图的B，D，F，H）。将它们与相应圆的中心连接在一起以形成多边形。圆并集的面积是多边形的面积+由连续相交点和它们之间的圆心定义的圆片的面积。您还需要解决所有漏洞。

我敢肯定有一个聪明的算法，但这是一个愚蠢的算法，省去了寻找它的麻烦。

• 在圆圈周围放一个边界框；
• 在边界框中生成随机点；
• 找出随机点是否在圆圈之一内；
• 通过一些简单的加法和除法计算面积（proportion_of_points_inside * area_of_bounding_box）。

当然是愚蠢的，但是：

• 您可以根据需要获得尽可能准确的答案，只需获得更多的分数即可；
• 它适用于您可以计算内部/外部差异的任何形状；
• 它将完美地并行化，因此您可以使用所有内核。

蚂蚁·阿斯玛（Ants Aasma）的答案给出了基本概念，但我想使其更为具体。看一下下面的五个圆圈以及它们的分解方式。

• 蓝点是圆圈中心。
• 红点是圆边界交点。
• 内部具有白色的红点是圆边界的交点，不在任何其他圆中。

识别这三种类型的点很容易。现在构造一个图形数据结构，其中节点是内部为白色的蓝点和红点。对于每个圆，在圆心（蓝色圆点）与其交点（内部为白色的红点）的边界之间放置一条边。

这会将圆形并集分解为一组成对不相交并覆盖原始并集（即一个分区）的多边形（蓝色阴影）和圆形饼图（绿色阴影）。由于这里的每个零件都易于计算面积，因此您可以通过将零件的面积相加来计算并集的面积。

对于与前一个解决方案不同的解决方案，您可以使用四叉树产生具有任意精度的估计。

如果您可以判断正方形是在内部还是外部或与该形状相交，则此方法也适用于任何形状并集。

每个单元格都具有以下状态之一：空，满，部分

该算法包括以低分辨率（例如4个单元标记为空）开始“绘制”四叉树中的圆。每个单元格为：

• 在至少一个圆圈内，然后将单元格标记为已满，
• 在所有圆圈之外，将单元格标记为空，
• 否则将单元格标记为部分。

完成后，您可以计算面积的估计值：完整的单元格给出较低的边界，空白的单元格给出较高的边界，部分单元格给出最大的面积误差。

如果误差对您来说太大，则可以优化部分像元，直到获得正确的精度为止。

我认为这比处理许多特殊情况可能需要的几何方法更容易实现。

我喜欢2个相交圆的情况下的方法-在更复杂的示例中，我将使用相同方法的细微变化。

它可能会更好地了解泛化大量半重叠圆的算法。

此处的区别在于，我从链接中心开始（因此，在圆心之间有一个顶点，而不是在圆心相交的地方之间有一个顶点），我认为这样可以更好地进行概括。

（实际上，也许蒙特卡洛方法值得）

_{（来源：secretGeek.net）}

如果您想要离散（而不是连续）的答案，则可以执行类似于像素绘制算法的操作。

在网格上绘制圆圈，然后为网格的每个单元格（如果其大部分包含在圆内）着色（即，至少50％的面积在一个圆圈内）。对整个网格执行此操作（该网格跨越圆圈所覆盖的所有区域），然后计算网格中有色单元的数量。

嗯，非常有趣的问题。我的方法可能类似于以下内容：

• 找出一种方法，可以计算出任意数量的圆之间的交集区域，即，如果我有3个圆，则需要能够计算出这些圆之间的交集是什么。“蒙特卡洛”方法将是近似此方法的好方法（http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/circlearea/）。
• 消除完全包含在另一个较大圆中的所有圆（请看一下半径和两个圆心之间的距离的模数），我认为这不是强制性的。
• 选择2个圆圈（分别称为A和B），并使用以下公式计算总面积：

（对于任何形状，无论是圆形还是其他形状，都是如此）

area(A∪B) = area(A) + area(B) - area(A∩B)

哪里 A ∪ B意思是A的并集B和A ∩ BA的相交B（您可以从第一步开始计算。

• 现在继续添加圆并继续计算添加的面积，以求和/减去圆的面积和圆之间的交点的面积。例如，对于3个圆（称为额外的圆C），我们使用以下公式计算区域：

（与上面A替换为的情况相同A∪B）

area((A∪B)∪C) = area(A∪B) + area(C) - area((A∪B)∩C)

当area(A∪B)我们刚制定出来的，并area((A∪B)∩C)可以发现：

area((A∪B)nC) = area((A∩C)∪(B∩C)) = area(A∩C) + area(A∩B) - area((A∩C)∩(B∩C)) = area(A∩C) + area(A∩B) - area(A∩B∩C)

再次可以从上方找到区域（A∩B∩C）。

棘手的是最后一步-添加的圆圈越多，它变得越复杂。我相信可以用有限的联合来计算交叉点的面积，或者您可以递归地进行求解。

另外，关于使用蒙特卡洛近似计算迭代区域，我相信可以将任意数量的圆的交点减少为这些圆的4个交点，这可以精确计算（不知道如何执行此操作）然而）。

顺便说一句，也许有更好的方法-添加的每个额外的圆的复杂度会显着增加（可能呈指数增长，但我不确定）。

我一直在研究模拟重叠的星场的问题，试图从密集场中的实际磁盘区域估计真实的恒星数，在该区域中较大的明亮恒星可以掩盖较暗的恒星。我也曾希望能够通过严格的形式分析来做到这一点，但无法找到用于该任务的算法。我通过在蓝色背景上将星场生成为绿色磁盘来解决它，其直径由概率算法确定。一个简单的例程可以将它们配对以查看是否存在重叠（将星对变成黄色）；然后颜色的像素计数会生成观察到的面积，以与理论面积进行比较。然后，这会为真实计数生成概率曲线。也许是蛮力的，但似乎行得通。_{（来源：2from.com）}

这是一种在实践中应该易于实现的算法，可以对其进行调整以产生任意小的误差：

1. 用以同一点为中心的规则多边形近似每个圆
2. 计算作为近似圆的并集的多边形
3. 计算合并多边形的面积

步骤2和步骤3可以使用易于计算的标准算法从计算几何中进行。

显然，您为每个近似多边形使用的边数越多，您的答案就越接近精确。您可以使用内切和外切多边形进行近似，以得出确切答案的范围。

使用所谓的功率图，可以有效解决此问题。虽然这确实是沉重的数学运算，但我不想立即解决。对于“简单”的解决方案，请查找行扫描算法。这里的基本原理是将图形划分为条带，在其中计算每个条带的面积相对容易。

因此，在包含所有未擦掉的所有圆的图形上，在每个位置绘制一条水平线，该位置是圆的顶部，圆的底部或2个圆的交点。请注意，在这些条带中，您需要计算的所有区域看起来都相同：一个“梯形”，其两侧被圆形线段代替。因此，如果您能算出如何计算这种形状，则只需对所有单个形状进行处理，然后将它们加在一起即可。这种幼稚方法的复杂度为O（N ^ 3），其中N是图中的圆圈数。通过使用一些巧妙的数据结构，可以将此行扫描方法改进为O（N ^ 2 * log（N）），但是除非您确实需要，否则可能不值得麻烦。

我发现此链接可能有用。尽管似乎没有明确的答案。 Google的答案。三个圆的另一个参考是Haruki定理。那里也有纸。

根据您要解决的问题，它可能足以获得一个上限和下限。上限很容易，只是所有圆的总和。对于下限，您可以选择一个半径，以使所有圆都不重叠。为了更好地找到每个圆的最大半径（不超过实际半径），使其不重叠。删除所有完全重叠的圆（所有这些圆都满足| P_a-P_b | <= r_a）也应该是微不足道的，其中P_a是圆A的中心，P_b是圆B的中心，r_a是A的半径），这样可以同时提高上下限。如果您在任意对上使用对公式，而​​不仅仅是所有圆的总和，则还可以获得更好的上限。可能有一个选择“最佳”的好方法

给定一个上限和下限，您也许可以更好地调整蒙特卡洛方法，但是没有什么特别的主意。另一个选择（同样取决于您的应用程序）是栅格化圆圈并计算像素。它基本上是具有固定分布的蒙特卡洛方法。

这可以使用格林定理来解决，其复杂度为n ^ 2log（n）。如果您不熟悉格林定理，并且想了解更多，这里是可汗学院的视频和笔记。但是为了我们的问题，我认为我的描述就足够了。

很抱歉，无法链接到照片，因为我无法发布图像。（信誉评分不足）

格林定理的一般方程

如果我把L和M这样

健康）状况

那么RHS就是区域R的面积，可以通过求解闭合积分或LHS来获得，这正是我们要做的。

可以将所有并集分解为相交的不相交的圆集

因此，沿逆时针方向的路径积分可以得到该区域的面积，而沿顺时针方向的积分则可以得到该面积的负数。所以

AreaOfUnion =（逆时针方向沿红色弧的积分+顺时针方向沿蓝色弧的积分）

但是很酷的窍门是，如果对于每个圆，如果我们对不在任何其他圆内的弧进行积分，则得到所需的面积，即沿所有红色弧在逆时针方向上进行积分，而沿顺时针方向在所有蓝弧上进行积分。任务完成！！！

即使一个圆不与其他圆相交的情况也可以解决。

这是我的C ++代码的GitHub链接

像素绘制方法（由@Loadmaster建议）在多种方面优于数学解决方案：

1. 实施要简单得多。正如JSFiddle解决方案所展示的，上述问题可以用不到100行代码来解决。（主要是因为从概念上讲它简单得多，并且没有情况或异常可以处理）。
2. 它很容易适应更一般的问题。只要它可以在2D图形库（即“所有图形！”）中可渲染，就可以使用任何形状（无论其形态如何）—圆形，椭圆形，样条曲线，多边形，您都可以命名。哎呀，甚至位图图像。
3. 与数学解决方案的〜O [n * n]相比，像素绘制解决方案的复杂度为〜O [n]。这意味着随着形状数量的增加，它的性能会更好。
4. 谈到性能，您通常会免费获得硬件加速，因为大多数现代2D库（例如，我相信HTML5的画布）会将渲染工作转移到图形加速器上。

像素绘制的一个缺点是解决方案的精度有限。但这可以通过根据情况需要简单地渲染到更大或更小的画布来调整。还要注意，2D渲染代码中的抗锯齿（通常默认情况下处于启用状态）将产生优于像素级别的精度。因此，例如，我认为将100x100的图形渲染到相同尺寸的画布中时，产生的精度应为1 /（100 x 100 x 255）= .000039％的数量级……这可能“足够好”除了最苛刻的问题之外的所有问题。

<p>Area computation of arbitrary figures as done thru pixel-painting, in which a complex shape is drawn into an HTML5 canvas and the area determined by comparing the number of white pixels found in the resulting bitmap.  See javascript source for details.</p>

<canvas id="canvas" width="80" height="100"></canvas>

<p>Area = <span id="result"></span></p>

// Get HTML canvas element (and context) to draw into
var canvas = document.getElementById('canvas');
var ctx = canvas.getContext('2d');

// Lil' circle drawing utility
function circle(x,y,r) {
  ctx.beginPath();
  ctx.arc(x, y, r, 0, Math.PI*2);
  ctx.fill();
}

// Clear canvas (to black)
ctx.fillStyle = 'black';
ctx.fillRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);

// Fill shape (in white)
ctx.fillStyle = 'white';
circle(40, 50, 40);
circle(40, 10, 10);
circle(25, 15, 12);
circle(35, 90, 10);

// Get bitmap data
var id = ctx.getImageData(0, 0, canvas.width, canvas.height);
var pixels = id.data; // Flat array of RGBA bytes

// Determine area by counting the white pixels
for (var i = 0, area = 0; i < pixels.length; i += 4) {
  area += pixels[i]; // Red channel (same as green and blue channels)
}

// Normalize by the max white value of 255
area /= 255;

// Output result
document.getElementById('result').innerHTML = area.toFixed(2);