在C＃整数算法中，a / b / c是否始终等于a /（b * c）？

令a，b和c为非大正整数。使用C＃整数算法，a / b / c是否总是等于a /（b * c）？对我来说，在C＃中看起来像：

int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);

所以我的问题是：x1 == x2a，b和c都适用吗？

让\分别表示整数除法（该C＃/2个之间操作者int或多个），并让/分别表示通常的数学除法。然后，如果x,y,z是正整数，而我们忽略了溢出，

(x \ y) \ z
    = floor(floor(x / y) / z)      [1]
    = floor((x / y) / z)           [2]
    = floor(x / (y * z))
    = x \ (y * z)

哪里

a \ b = floor(a / b)

从线跳转[1]到线[2]上面解释如下。假设您有两个整数a和b一个f范围内的小数[0, 1)。显而易见

floor(a / b) = floor((a + f) / b)  [3]

如果符合条件，则[1]标识a = floor(x / y)，f = (x / y) - floor(x / y)和b = z，则[3]表示[1]和[2]相等。

您可以将该证明推广为负整数（仍然忽略overflow），但是我将把它留给读者以保持重点。

关于溢出的问题-请参阅Eric Lippert的答案以获得良好的解释！他还在博客文章和答案中采取了更为严格的方法，如果您觉得我太过手摇，就应该研究一下。

我非常喜欢这个问题，因此我将其作为主题 在2013年6月4日博客。感谢您提出的好问题！

大案件很容易得到。例如：

a = 1073741823; 
b = 134217727;
c = 134217727;

因为b * c溢出到负数。

我想补充到，在事实核对算术，之间的差异a / (b * c)，并(a / b) / c可以是程序之间的区别在于作品和程序崩溃。如果是b和c溢出的整数的范围那么前者将在检查范围内崩溃。

对于小的正整数（例如，足够小以适合短整数），应保持身份。

蒂莫西·希尔兹（Timothy Shields）刚刚发布了证明；我在这里提出另一种证明。假定这里的所有数字都是非负整数，并且所有操作都不会溢出。

的整数除法x / y找到值，q如q * y + r == x，0 <= r < y。

所以师a / (b * c)认定的价值q1，使得

q1 * b * c + r1 == a

哪里 0 <= r1 < b * c

该部门( a / b ) / c首先找到的价值qt是

qt * b + r3 == a

然后发现值q2，使得

q2 * c + r2 == qt

因此，用它代替，qt我们得到：

q2 * b * c + b * r2 + r3 == a

在哪里0 <= r2 < c和0 <= r3 < b。

两个相等的事物彼此相等，所以我们有

q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3

假设q1 == q2 + x有一个整数x。代入并解决x：

q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x  = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)

哪里

 0 <= r1 < b * c
 0 <= r2 < c
 0 <= r3 < b

可以x大于零吗？不，我们有不平等：

 b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c

因此，该分数的分子始终小于b * c，因此x不能大于零。

可以x小于零吗？不，通过类似的论点，留给读者。

因此，整数x为零，因此q1 == q2。

如果绝对值b和c低于约sqrt(2^31)（约46 300），这样b * c将不会溢出，该值将总是匹配。如果b * c溢出，则可以在checked上下文中引发错误，或者您可以在上下文中获得错误的值unchecked。

避免别人注意到的溢出错误，它们总是匹配的。

让我们假设a/b=q1，这意味着a=b*q1+r1，在哪里0<=r1<b。
现在假设那a/b/c=q2意味着那q1=c*q2+r2在哪里0<=r2<c。
这意味着a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1。
为了这个a/(b*c)=a/b/c=q2，我们需要0<=b*r2+r1<b*c。
但是b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c，根据需要，这两个操作匹配。

如果b或c为负，这将不起作用，但是在这种情况下，我也不知道整数除法是如何工作的。

我将提供自己的有趣证明。这也忽略了溢出，仅不幸地处理了正数，但我认为证明是干净明确的。

目的是表明

floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)

/正常除法在哪里（在整个证明中）。

我们将a/b 唯一的商和余数表示为a = kb + r（这意味着我们k,r是唯一的，也要注意|r| < |b|）。然后我们有：

(1) floor(x/y) = k => x = ky + r
(2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1
(3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2

因此，我们的目标只是表明这一点k1 == k2。好吧，我们有：

k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (x-r)/y (from lines 1 and 2)
=> x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y

因此：

(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above)
x/y = k2*z + r2 (from line 3)

现在从（2）观察它r1是一个整数（fork1*z定义为整数）和r1 < z（也定义为整数）。此外，从（1）我们知道r < y => r/y < 1。现在考虑r1 + r/y来自（4）的和。该声明是，r1 + r/y < z并且从先前的声明中可以很明显地看出来（因为0 <= r1 < z和r1是一个整数，所以我们有0 <= r1 <= z-1。因此0 <= r1 + r/y < z）。因此，r1 + r/y = r2根据定义r2（否则将有两个余数与余数x/y的定义相矛盾）。因此，我们有：

x/y = k1*z + r2
x/y = k2*z + r2

我们有我们期望的结论k1 = k2。

上面的证明应该与否定一起工作，除了需要检查额外情况的几个步骤之外……但我没有检查。

计数器示例：INT_MIN / -1 / 2