将双精度整数舍入为32位int的快速方法

在阅读Lua的源代码时，我注意到Lua使用a将a macro舍double入为32位int。我提取了macro，它看起来像这样：

union i_cast {double d; int i[2]};
#define double2int(i, d, t)  \
    {volatile union i_cast u; u.d = (d) + 6755399441055744.0; \
    (i) = (t)u.i[ENDIANLOC];}

这里ENDIANLOC定义为endianness，0对于小端，1对于大端。Lua会小心处理字节顺序。t代表整数类型，例如int或unsigned int。

我做了一些研究，有一个更简单的格式macro使用了相同的想法：

#define double2int(i, d) \
    {double t = ((d) + 6755399441055744.0); i = *((int *)(&t));}

或采用C ++样式：

inline int double2int(double d)
{
    d += 6755399441055744.0;
    return reinterpret_cast<int&>(d);
}

此技巧可以在使用IEEE 754的任何计算机上使用（这意味着当今几乎所有计算机）。它适用于正数和负数，并且四舍五入遵循Banker规则。（这并不令人惊讶，因为它遵循IEEE754。）

我写了一个小程序来测试它：

int main()
{
    double d = -12345678.9;
    int i;
    double2int(i, d)
    printf("%d\n", i);
    return 0;
}

并按预期输出-12345679。

我想详细介绍这个棘手的macro工作原理。幻数6755399441055744.0实际上是2^51 + 2^52或1.5 * 2^52，并且1.5以二进制形式可以表示为1.1。当任何32位整数添加到该幻数上时，我从这里迷失了方向。这个技巧如何运作？

PS：这是在Lua源代码Llimits.h中。

更新：

1. 正如@Mysticial指出的那样，此方法不限于32位int，int只要数字在2 ^ 52范围内，它也可以扩展为64位。（macro需要一些修改。）
2. 一些材料说这种方法不能在Direct3D中使用。

3. 使用适用于x86的Microsoft汇编程序时，macro编写的速度甚至更快assembly（这也摘自Lua源码）：

   #define double2int(i,n)  __asm {__asm fld n   __asm fistp i}

4. 单精度数字有一个相似的幻数： 1.5 * 2 ^23

A double表示如下：

可以看成是两个32位整数；现在，int代码的所有版本（假设是32位int）中所采用的都是图中的右侧，因此最后要做的只是取最低的32位尾数。

现在，到魔幻数字；正如您正确说的那样，6755399441055744是2 ^ 51 + 2 ^ 52; 添加这样的数字将迫使其double进入2 ^ 52到2 ^ 53之间的“甜蜜范围”，正如Wikipedia 在此处解释的那样，它具有一个有趣的属性：

在2 ⁵² = 4,503,599,627,370,496和2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992之间，可表示的数字恰好是整数

这是因为尾数为52位宽。

关于添加2 ⁵¹ +2 ⁵²的另一个有趣的事实是，它仅影响两个最高位的尾数-无论如何，这些尾数都将被丢弃，因为我们仅采用了最低的32位。

最后但并非最不重要的：标志。

IEEE 754浮点使用幅度和符号表示，而“标准”机器上的整数使用2的补码算法；这里如何处理？

我们只讨论了正整数；现在假设我们正在处理一个32位可表示范围内的负数int，因此（绝对值）比（-2 ^ 31 + 1）小；称呼它-a。通过加上幻数，可以明显地使此数字为正，结果值为2 ⁵² +2 ⁵¹ +（-a）。

现在，如果我们以2的补码表示法解释尾数，将会得到什么？它必须是（2 ⁵² +2 ⁵¹）和（-a）的2的补码和的结果。同样，第一项仅影响高两位，保留在位0〜50中的是（-a）的2的补码表示（再次减去高两位）。

由于仅通过切掉左侧的多余位就可以将2的补码数减小为较小的宽度，因此采用低32位可以正确地（-a）用32的2的补码算术。