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要了解多项式时间和伪多项式时间之间的差异，我们需要从形式上定义“多项式时间”的含义开始。
多项式时间的直觉是“ 某个k的时间O（n k）”。例如，选择排序在时间O（n 2）上运行，这是多项式时间，而蛮力求解TSP则需要时间O（n·n！），这不是多项式时间。
这些运行时都引用一些跟踪输入大小的变量n。例如，在选择排序中，n表示数组中元素的数量，而在TSP中，n表示图中节点的数量。为了标准化“ n”在这里的实际含义，时间复杂度的正式定义定义了问题的“大小”，如下所示：
问题输入的大小是写出该输入所需的位数。
例如，如果排序算法的输入是32位整数的数组，则输入的大小将为32n，其中n是数组中的条目数。在具有n个节点和m个边的图中，输入可能被指定为所有节点的列表，然后是所有边的列表，这将需要Ω（n + m）位。
给定此定义，多项式时间的形式定义如下：
如果某个常数k的运行时间为O（x k），则该算法将在多项式时间内运行，其中x表示提供给该算法的输入位数。
当使用处理图形，列表，树等的算法时，此定义或多或少与常规定义一致。例如，假设您有一种排序算法，可以对32位整数数组进行排序。如果使用诸如选择排序之类的方法执行此操作，则运行时（取决于数组中输入元素的数量）将为O（n 2）。但是，输入数组中元素的个数n与输入的位数有什么关系？如前所述，输入的位数为x = 32n。因此，如果我们用x而不是n来表示算法的运行时间，则会得到运行时间为O（x 2），因此该算法以多项式时间运行。
同样，假设您对图进行深度优先搜索，这需要花费时间O（m + n），其中m是图中的边数，n是节点数。这与给定的输入位数有什么关系？好吧，如果我们假设输入被指定为邻接表（所有节点和边的列表），那么如前所述，输入位数为x =Ω（m + n）。因此，运行时间将为O（x），因此该算法以多项式时间运行。
但是，当我们开始谈论对数字进行运算的算法时，事情就崩溃了。让我们考虑测试数字是否为质数的问题。给定数字n，您可以使用以下算法测试n是否为质数：
function isPrime(n):
for i from 2 to n - 1:
if (n mod i) = 0, return false
return true
那么这段代码的时间复杂度是多少？好吧，那个内部循环运行O（n）次，每次都做一些工作来计算n mod i（作为一个真正保守的上限，这当然可以在时间O（n 3）中完成）。因此，该总体算法的运行时间为O（n 4），可能更快。
2004年，三位计算机科学家发表了一篇名为PRIMES is P的论文，该论文给出了多项式时间算法来测试数字是否为质数。这被认为是具有里程碑意义的结果。那有什么大不了的？我们是否已经有一个多项式时间算法，即上面的算法？
不幸的是，我们没有。请记住，时间复杂度的正式定义是将算法的复杂度作为输入位数的函数。我们的算法在时间O（n 4）上运行，但是作为输入位数的函数是什么呢？好吧，写出数字n需要O（log n）位。因此，如果让x为写出输入n所需的位数，则该算法的运行时间实际上是O（2 4x），它不是 x中的多项式。
这是多项式时间和伪多项式时间之间区别的核心。一方面，我们的算法是O（n 4），它看起来像多项式，但是另一方面，在多项式时间的形式定义下，它不是多项式时间。
要了解为什么该算法不是多项式时间算法，请考虑以下内容。假设我希望算法必须做很多工作。如果我写出这样的输入：
10001010101011
那么将需要一些最坏的情况（例如T）来完成。如果我现在在数字的末尾添加一点，就像这样：
100010101010111
现在（在最坏的情况下）运行时间将为2T。只要再增加一点，就可以使算法的工作量增加一倍！
如果运行时是输入的数值中的多项式，而不是表示它所需的位数，则算法以伪多项式时间运行。我们的主要测试算法是伪多项式时间算法，因为它在时间O（n 4）内运行，但是它不是多项式时间算法，因为它是写入输入所需的位数x的函数，运行时间为O （2 4x）。“ PRIMES in P”之所以如此重要，是因为它的运行时间大约为O（log 12 n），它是位数的函数，为O（x 12）。
那么为什么这很重要呢？好吧，我们有许多用于分解整数的伪多项式时间算法。但是，从技术上讲，这些算法是指数时间算法。这对于加密非常有用：如果您想使用RSA加密，则需要能够信任我们不能轻易分解数字。通过将数字中的位数增加到一个巨大的值（例如1024位），可以使伪多项式时间分解算法必须花费的时间变得如此之大，以至于完全和完全不可行。数字。另一方面，如果我们可以找到多项式时间分解算法，则不一定是这种情况。增加更多的位可能会使功增长很多，但增长只会是多项式增长，而不是指数增长。
就是说，在许多情况下，伪多项式时间算法非常好，因为数字的大小不会太大。例如，计数排序具有运行时间O（n + U），其中U是数组中的最大数字。这是伪多项式时间（因为U的数值需要O（log U）位才能写出，所以运行时的输入大小是指数的）。如果我们人为地约束U以使U不会太大（例如，假设U为2），则运行时间为O（n），实际上是多项式时间。这是基数排序的工作方式：通过一次一次处理数字，每轮的运行时间为O（n），因此总体运行时间为O（n log U）。这实际上是 多项式时间，因为写出n个要排序的数字使用Ω（n）位，并且log U的值与写出数组中最大值所需的位数成正比。
希望这可以帮助！
isPrime复杂度估计为O（n ^ 4）而不是简单地估计为O（n）？我不明白 除非的复杂度n mod i为O（n ^ 3）.... 否则肯定不是。
n mod i过于保守。的时序mod是in中位数的函数n，而不是其n本身的位数，因此应为O（（log n）^ 3）。
伪多项式时间复杂度是指输入值/幅度为多项式，但输入大小为指数。
所谓大小，是指写入输入所需的位数。
从背包的伪代码中，我们可以发现时间复杂度为O（nW）。
// Input:
// Values (stored in array v)
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n) //
Knapsack capacity (W)
for w from 0 to W
do m[0, w] := 0
end for
for i from 1 to n do
for j from 0 to W do
if j >= w[i] then
m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])
else
m[i, j] := m[i-1, j]
end if
end for
end for
在这里，W不是输入长度的多项式，这就是使其成为伪多项式的原因。
令s为表示W所需的位数
i.e. size of input= s =log(W) (log= log base 2)
-> 2^(s)=2^(log(W))
-> 2^(s)=W (because 2^(log(x)) = x)
现在，running time of knapsack= O（nW）= O（n * 2 ^ s），这不是多项式。