log（n！）=Θ（n·log（n））吗？

217

我要证明log（n！）=Θ（n ·log（n））。

提示我应该用n ⁿ表示上限，而用（n / 2）^{（n / 2）}表示下限。在我看来，这似乎并不那么直观。为什么会这样呢？我绝对可以看到如何将n ⁿ转换为n ·log（n）（即，记录方程的两边），但这有点倒退。

解决这个问题的正确方法是什么？我应该画递归树吗？对此没有任何递归，因此这似乎不是一种可行的方法。

— 标记
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1

您应该真正编写它，包括“ as n->∞”

— MartW 2010年

2

有趣的练习：使用类似的技巧来显示谐波系列1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...趋于无穷大。

— Yoo 2010年

10

这不应该在c.stackexchange.com吗？

— CodyBugstein 2013年

5

@ CodyBugstein，cs.stackexchange.com早在提出问题时就不存在了

— MrMartin

303

请记住

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

您可以通过以下方式获得上限

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

在丢弃总和的前一半之后，可以通过执行类似的操作来获得下界：

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2)

— 米克
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5

这是一个很好的上限证明：log（n！）= log（1）+ ... + log（n）<= n log（n）=> log（n！）= O（n log n ）。但是，为了证明下界（因此证明是大四面体），您可能需要斯特林近似法。

— Mehrdad Afshari 2010年

33

您不需要下界的英镑近似值。log（n！）= log（1）+ ... + log（n）> = log（n / 2）+ ... + log（n）> = n / 2 * log（n / 2）=Ω （n log n）。

— 基思·兰德尔

2

@基思：我还不明白。您（或某人）能否在“ log（n / 2）+ ... + log（n）”的“ ...”部分为我扩展一些术语？谢谢！

— j_random_hacker 2010年

6

@j_random_hacker ：（log(n/2) + log(n/2 + 1) + ... + log(n - 1) + log(n)占条款的一半log(n!)）。实际上，我刚刚阅读了问题，并看到了问题中的线索。基本上，(n/2)^(n/2) <= n! <= n^n=> log((n/2)^(n/2))<=log(n!)<=log(n^n)=>Θ(n/2 * log(n/2))<=log(n!)<=Θ(n*log(n))

— Mehrdad Afshari 2010年

4

该解释类似于已接受的答案，但有更多详细信息：mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

— gayavat 2015年

40

我意识到这是一个非常老的问题，答案是可以接受的，但是这些答案实际上都没有使用提示所建议的方法。

这是一个非常简单的参数：

n!（= 1 * 2 * 3 * ... * n）是n每个均小于或等于的数字的乘积n。因此它小于n所有等于的数字的乘积n; 即n^n。

产品中一半的数字（即n/2其中的一半）n!大于或等于n/2。因此他们的乘积大于n/2全部等于的数字的乘积n/2; 即(n/2)^(n/2)。

全面记录日志以确定结果。

— 尼莫
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9

这实际上与接受的答案中的对数版本相同，但取对数为后而不是之前。（尽管它更清楚地使用了提示）

— hugomg

13

抱歉，我不知道如何在stackoverflow上使用LaTeX语法。

— 随机9
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1

这是一个很好的解释！我可以遵循此步骤直到第7步，但是我无法解码在第7步和第8步之间发生的数学运算式... :-(

— Z3d4s

3

@ Z3d4s步骤7中的参数基本上是，右边的第一项是主要项，因此log（n！）可以近似为n log（n）或它的阶数为n log（n）。用大O表示法O（n * log（n））表示。

— 随机

1

@ Z3d4s 7-8转换步骤表示n logn == log（n ^ n），并在此处显示界限，可以说第一个项始终大于第二个项，可以检查是否有更大的值，并且为了表示big-O的复杂性，我们将始终把所有事情都放在最主要的位置。因此，n logn有助于big-O时间。

— Shiv Prakash

11

参见斯特林近似：

ln（n！）= n * ln（n）-n + O（ln（n））

最后两个词的重要性不如第一个词。

— dsimcha
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7

对于下限，

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！）> =（1/2）（n lg n-1）

结合两个界限：

1/2（n lg n-1）<= lg（n！）<= n lg n

通过选择大于（1/2）的下界常数，我们可以补偿括号内的-1。

因此lg（n！）= Theta（n lg n）

— Vivek Anand Sampath
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2

之所以需要这种扩展推导，是因为“某物”> = n / 2 * lg（n / 2）不等于在先前评论之一中提到的omega（n lg n）。

— Vivek Anand Sampath

当我们试图找到一个下限时，它应该显示为“小于（1/2）的常量SMALLER”。任何小于（1/2）的常数c最终都会使c n logn <=（1/2）n * logn-（1/2）n，对于足够大的n。

— 马修

3

Mick Sharpe离开您的地方进一步为您提供帮助：

它的推导非常简单：请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm- >组理论

log（n！）= log（n *（n-1）*（n-2）* ... * 2 * 1）= log（n）+ log（n-1）+ ... + log（2 ）+ log（1）

认为n 无限大。什么是无限减一？或减两个？等等

log（inf）+ log（inf）+ log（inf）+ ... = inf * log（inf）

然后将inf视为n。

— 平达朱
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2

谢谢，我发现您的回答令人信服，但就我而言，我必须使用Θ属性：

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

验证我找到该网站的问题，并在其中说明了所有过程：http : //www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

— WyrmxD
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1

这可能会有所帮助：

e ^ln（x） = x

和

（l ^m）ⁿ = l ^{m * n}

— 独角兽
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3

实际上，这是错误的：1 ^（m ^ n）！= 1 ^（m n）它必须是（1 ^ m）^ n = 1 ^（m n）

— Pindatjuh 2010年

错误，我的意思是L而不是上面评论中的1。

— 达朱2010年

他没有写（l ^ m）^ n的1 ^（m ^ n）

— CodyBugstein

1

@CodyBugstein：进行了修改以解决此问题，您在几年后评论了该错误隐藏在历史中时

— Ben Voigt

0

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 斯特林近似值可能会对您有所帮助。这对于处理与数量级为10 ^ 10及以上的阶乘有关的阶乘问题确实很有帮助。

在此处输入图片说明