2 ^ n和n * 2 ^ n是否具有相同的时间复杂度？

我发现的有关时间复杂度的资源尚不清楚何时可以忽略时间复杂度方程式中的术语，尤其是对于非多项式示例。

对我来说很明显，给定形式为n ² + n + 1的东西，后两项是无关紧要的。

具体来说，给定两个分类2 ⁿ和n *（2 ⁿ），第二个的顺序与第一个相同吗？那里的附加n乘数有关系吗？通常，资源只是说x ⁿ呈指数形式并且增长得更快...然后继续前进。

我能理解为什么2 ⁿ不会超过n，但是为什么不将它们加在一起，所以在比较这两个方程时就显得尤为重要，事实上，它们之间的差总是n的因数，至少可以说这很重要。

O为了回答这个问题，您将必须使用大O（）的形式定义。

定义是当且仅当限制存在（即不是无限）时才f(x)属于。简而言之，这意味着存在一个常数，使得的值永远不会大于。O(g(x))limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

在您的问题的情况下，让。然后是这将仍增长无限。因此不属于。f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

快速查看n⋅2ⁿ更大的方法是更改​​变量。让m = 2ⁿ。然后n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m（取m = 2ⁿ给定两边的以2为底的对数n = log₂m），您可以轻松地看出它的m log₂m增长速度比快m。

我同意n⋅2ⁿ不在中O(2ⁿ)，但我认为应该更加明确，因为限制高级用法并不总是成立。

根据Big-O的形式定义：f(n)是O(g(n))存在常量c > 0，n₀ ≥ 0并且对于n ≥ n₀我们所有常量而言f(n) ≤ c⋅g(n)。可以容易地证明，对于不存在这样的常量f(n) = n⋅2ⁿ和g(n) = 2ⁿ。但是，可以显示g(n)在中O(f(n))。

换句话说，n⋅2ⁿ由限制2ⁿ。这很直观。尽管它们都是指数的，因此在大多数实际情况下不太可能使用，但我们不能说它们的阶数相同，因为它们的2ⁿ增长速度必定会比慢n⋅2ⁿ。

我没有与其他答案争论，认为答案的n⋅2ⁿ增长快于2ⁿ。但是n⋅2ⁿ增长仍然只是指数。

当谈论算法时，我们经常说时间复杂度的增长是指数级的。所以，我们认为是2ⁿ，3ⁿ，eⁿ，2.000001ⁿ，或者我们n⋅2ⁿ是同一个组的复杂性呈指数增长。

为了使它具有一些数学意义，f(x)如果存在这样的常数c > 1，我们认为一个函数以指数增长（不快于）。f(x) = O(cx)

因为n⋅2ⁿ常数c可以是大于的任何数字2，所以我们来3。然后：

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿ这比1任何事情都要少n。

所以2ⁿ增长慢于n⋅2ⁿ，最后一个增长慢于2.000001ⁿ。但是它们三个都成倍增长。

您问：“第二个顺序是否与第一个相同？另外的n个乘法是否重要？” 这是两个不同的问题，有两个不同的答案。

n 2 ^ n渐近地增长快于2 ^ n。就是那个问题。

但是您可能会问：“如果算法A花费2 ^ n纳秒，而算法B花费n 2 ^ n纳秒，那么我能以秒/分钟/小时/天/月/年/年找到解决方案的最大n是多少？答案是n = 29/35/41/46/51/54与25/30/36/40/45/49，实际上没有太大区别。

在两种情况下，可以在时间T中解决的最大问题的大小为O（ln T）。