是（x-x）始终为双的正零，还是有时为负零？

何时x是double，(x - x)保证是+0.0，或者有时可能是-0.0（取决于的符号x）？

x - x可以是+0.0或NaN。舍入取整（在Java中，舍入模式始终为舍入取整）在IEEE 754算术中没有其他值。将两个相同的有限值相减定义为+0.0在此舍入模式下产生。马克·迪金森（Mark Dickinson）在下面的评论中引用了IEEE 754标准第6.3节：

当两个具有相反符号的操作数之和（或两个具有相似符号的操作数之差）正好为零时，除roundTowardNegative [...]以外，所有舍入方向属性中该和（或差异）的符号应为+0。 。

此页面显示，特别是0.0 - 0.0和-0.0 - (-0.0)均+0.0。

从它们的减去中，无限和NaN都会产生NaN。

SMT求解器Z3支持IEEE浮点算法。让我们问Z3找到一个案例x - x != 0。立即找到NaN和+-infinity。除了这些，没有x一个满足该方程式。

(set-logic QF_FPA)    

(declare-const x (_ FP 11 53))
(declare-const r (_ FP 11 53))

(assert (and 
    (not (= x (as NaN (_ FP 11 53))))
    (not (= x (as plusInfinity (_ FP 11 53))))
    (not (= x (as minusInfinity (_ FP 11 53))))
    (= r (- roundTowardZero x x))
    (not (= r ((_ asFloat 11 53) roundTowardZero 0.0 0)))
))

(check-sat)
(get-model)

Z3通过将所有操作转换为布尔电路并使用标准的SAT求解器来找到模型来实现IEEE浮点算法。除非翻译或SAT求解器中有任何错误，否则结果非常精确。

证明...

• ... roundTowardZero：http：//rise4fun.com/Z3/7H4
• ... roundNearestTiesToEven：http：//rise4fun.com/Z3/Opl4W

请注意舍入模式的反例roundTowardNegative：http : //rise4fun.com/Z3/T845。对于肯定x的结果x - x是负零。人类几乎找不到这种情况。但是，使用SMT求解器很容易找到。我们可以更改=为，==以便Z3使用IEEE相等比较语义而不是完全相等。更改之后，再也没有反例了，因为-0 == +0根据IEEE。

我尝试将舍入模式设置为变量。从理论上讲，这是可行的，但是Z3在这里有一个bug。现在，我们必须手动指定硬编码的舍入模式。如果我们可以将其设为变量，则可以要求Z3在一个查询中针对所有舍入模式证明该语句。