如何在O（n）中长度为n的未排序数组中找到第k个最大元素？

我相信有一种方法可以找到O（n）中长度为n的未排序数组中的第k个最大元素。或者也许是“预期” O（n）之类的东西。我们应该怎么做？

这称为查找第k阶统计量。有一个非常简单的随机算法（称为quickselect），它占用了O(n)平均时间，O(n^2)最坏情况下的时间，还有一个相当复杂的非随机算法（称为introselect），它占用了O(n)最坏情况的时间。Wikipedia上有一些信息，但这不是很好。

您需要的所有内容都在这些PowerPoint幻灯片中。仅提取O(n)最坏情况算法的基本算法（introselect）：

Select(A,n,i):
    Divide input into ⌈n/5⌉ groups of size 5.

    /* Partition on median-of-medians */
    medians = array of each group’s median.
    pivot = Select(medians, ⌈n/5⌉, ⌈n/10⌉)
    Left Array L and Right Array G = partition(A, pivot)

    /* Find ith element in L, pivot, or G */
    k = |L| + 1
    If i = k, return pivot
    If i < k, return Select(L, k-1, i)
    If i > k, return Select(G, n-k, i-k)

在Cormen等人的《算法介绍》一书中，它也做了非常详细的介绍。

如果您想要一个真正的O(n)算法，而不是O(kn)类似的东西，那么您应该使用quickselect（基本上是quicksort，您将不感兴趣的分区丢弃了）。我的教授写的很好，并进行了运行时分析：（参考资料）

快速选择算法快速找到未排序的n元素数组中的第k个最小元素。这是一个RandomizedAlgorithm，因此我们计算最坏情况下的预期运行时间。

这是算法。

QuickSelect(A, k)
  let r be chosen uniformly at random in the range 1 to length(A)
  let pivot = A[r]
  let A1, A2 be new arrays
  # split into a pile A1 of small elements and A2 of big elements
  for i = 1 to n
    if A[i] < pivot then
      append A[i] to A1
    else if A[i] > pivot then
      append A[i] to A2
    else
      # do nothing
  end for
  if k <= length(A1):
    # it's in the pile of small elements
    return QuickSelect(A1, k)
  else if k > length(A) - length(A2)
    # it's in the pile of big elements
    return QuickSelect(A2, k - (length(A) - length(A2))
  else
    # it's equal to the pivot
    return pivot

该算法的运行时间是多少？如果对手为我们掷硬币，我们可能会发现枢轴始终是最大元素，k并且始终为1，因此运行时间为

T(n) = Theta(n) + T(n-1) = Theta(n2)

但是，如果选择确实是随机的，则预期运行时间为

T(n) <= Theta(n) + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i, n-i-1))

在这里我们并非完全合理地假设递归总是落在A1或中的较大者上A2。

让我们猜测T(n) <= an一下a。然后我们得到

T(n) 
 <= cn + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i-1, n-i))
 = cn + (1/n) ∑i=1 to floor(n/2) T(n-i) + (1/n) ∑i=floor(n/2)+1 to n T(i)
 <= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n T(i)
 <= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai

现在，我们不得不以某种方式在加号的右侧获取可怕的金额，以吸收cn左侧的金额。如果我们仅仅把它绑定到上面，我们大概得到。但这太大了-没有多余的空间可以挤压。因此，让我们使用算术级数公式来扩展总和：2(1/n) ∑i=n/2 to n an2(1/n)(n/2)an = ancn

∑i=floor(n/2) to n i  
 = ∑i=1 to n i - ∑i=1 to floor(n/2) i  
 = n(n+1)/2 - floor(n/2)(floor(n/2)+1)/2  
 <= n2/2 - (n/4)2/2  
 = (15/32)n2

我们利用n足够大的优势，floor(n/2)用更清洁（或更小的）来代替丑陋的因素n/4。现在我们可以继续

cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai,
 <= cn + (2a/n) (15/32) n2
 = n (c + (15/16)a)
 <= an

提供a > 16c。

这给了T(n) = O(n)。很明显Omega(n)，所以我们得到了T(n) = Theta(n)。

对此的快速Google（“第k个最大元素数组”）返回了以下内容：http : //discuss.joelonsoftware.com/default.asp?interview.11.509587.17

"Make one pass through tracking the three largest values so far." 

（专门针对3d最大）

和这个答案：

Build a heap/priority queue.  O(n)
Pop top element.  O(log n)
Pop top element.  O(log n)
Pop top element.  O(log n)

Total = O(n) + 3 O(log n) = O(n)

你喜欢快速排序。随机选择一个元素，然后将所有元素推高或调低。在这一点上，您将知道您实际上选择了哪个元素，并且如果完成的是第k个元素，否则您将对bin（较高或较低）重复一次，则第k个元素将落入。从统计上讲，时间需要找到第k个元素随n（O（n））增长。

程序员的算法分析同伴给出的版本为 O（n），尽管作者指出常数因子是如此之高，但您可能更喜欢朴素的先排序后列表再选择方法。

我回答了你的问题信:)

尽管C ++标准库确实会修改您的数据，但它几乎完全具有该函数调用nth_element。它具有预期的线性运行时间O（N），并且它也进行了部分排序。

const int N = ...;
double a[N];
// ... 
const int m = ...; // m < N
nth_element (a, a + m, a + N);
// a[m] contains the mth element in a

尽管不是很确定O（n）的复杂性，但是可以确定它在O（n）和nLog（n）之间。另外，请确保比nLog（n）更靠近O（n）。函数是用Java编写的

public int quickSelect(ArrayList<Integer>list, int nthSmallest){
    //Choose random number in range of 0 to array length
    Random random =  new Random();
    //This will give random number which is not greater than length - 1
    int pivotIndex = random.nextInt(list.size() - 1); 

    int pivot = list.get(pivotIndex);

    ArrayList<Integer> smallerNumberList = new ArrayList<Integer>();
    ArrayList<Integer> greaterNumberList = new ArrayList<Integer>();

    //Split list into two. 
    //Value smaller than pivot should go to smallerNumberList
    //Value greater than pivot should go to greaterNumberList
    //Do nothing for value which is equal to pivot
    for(int i=0; i<list.size(); i++){
        if(list.get(i)<pivot){
            smallerNumberList.add(list.get(i));
        }
        else if(list.get(i)>pivot){
            greaterNumberList.add(list.get(i));
        }
        else{
            //Do nothing
        }
    }

    //If smallerNumberList size is greater than nthSmallest value, nthSmallest number must be in this list 
    if(nthSmallest < smallerNumberList.size()){
        return quickSelect(smallerNumberList, nthSmallest);
    }
    //If nthSmallest is greater than [ list.size() - greaterNumberList.size() ], nthSmallest number must be in this list
    //The step is bit tricky. If confusing, please see the above loop once again for clarification.
    else if(nthSmallest > (list.size() - greaterNumberList.size())){
        //nthSmallest will have to be changed here. [ list.size() - greaterNumberList.size() ] elements are already in 
        //smallerNumberList
        nthSmallest = nthSmallest - (list.size() - greaterNumberList.size());
        return quickSelect(greaterNumberList,nthSmallest);
    }
    else{
        return pivot;
    }
}

我实现了使用动态编程，特别是锦标赛方法，在n个未排序元素中找到第k个极小值。执行时间为O（n + klog（n））。所使用的机制被列为Wikipedia页面上有关选择算法的一种方法（如上面发布的内容之一所示）。您可以在我的博客页面Finding Kth Minimum上了解有关该算法的信息，也可以找到代码（java）。另外，逻辑可以对列表进行部分排序-在O（klog（n））时间中返回第一个K min（或max）。

尽管所提供的代码的结果是第k个最小值，但是可以采用类似的逻辑在O（klog（n））中找到第k个最大值，而忽略了创建锦标赛树的前功。

您可以通过跟踪您已经看到的k个最大元素，以O（n + kn）= O（n）（对于常数k）（对于时间，O（k））作为空间来实现。

对于数组中的每个元素，您都可以扫描k个最大的列表，并用新的最小元素替换最小的元素。

沃伦的优先堆解决方案虽然更整洁。

Python中的性感快速选择

def quickselect(arr, k):
    '''
     k = 1 returns first element in ascending order.
     can be easily modified to return first element in descending order
    '''

    r = random.randrange(0, len(arr))

    a1 = [i for i in arr if i < arr[r]] '''partition'''
    a2 = [i for i in arr if i > arr[r]]

    if k <= len(a1):
        return quickselect(a1, k)
    elif k > len(arr)-len(a2):
        return quickselect(a2, k - (len(arr) - len(a2)))
    else:
        return arr[r]

在线性时间内找到数组的中位数，然后使用与快速排序完全相同的分区过程将数组分为两部分，中位数左侧的值小于（<）小于中位数，而右侧的值大于（>） ，这也可以在线性时间完成，现在，转到数组中第k个元素所在的部分，现在重复出现：T（n）= T（n / 2）+ cn，得出O（n）总和。

下面是完整实现的链接，其中有相当广泛的解释，该算法如何在未排序的算法中找到第K个元素。基本思想是像在QuickSort中一样对数组进行分区。但是为了避免极端情况（例如，在每个步骤中选择最小的元素作为枢轴，以便算法退化为O（n ^ 2）运行时间），应用了特殊的枢轴选择，称为中位数算法。在最坏的情况下和在平均情况下，整个解决方案的运行时间为O（n）。

这是全文的链接（关于找到第K个最小元素，但原理与找到第K个最大元素相同）：

在未排序数组中查找第K个最小元素

根据本文，在n个项目的列表中找到第K个最大的项目，以下算法O(n)在最坏的情况下会花费时间。

1. 将数组划分为n / 5个，每个包含5个元素。
2. 在每个包含5个元素的子数组中找到中位数。
3. 递归查找所有中位数的中位数，我们称其为M
4. 将数组划分为两个子数组，第一个子数组包含大于M的元素，可以说此子数组为a1，而其他子数组包含的元素小于M，请将该子数组称为a2。
5. 如果k <= | a1 |，则返回选择（a1，k）。
6. 如果k-1 = | a1 |，则返回M。
7. 如果k> | a1 | +1，返回选择（a2，k −a1 − 1）。

分析：如原始论文中所建议：

我们使用中位数将列表分为两半（前半部分为if k <= n/2，后半部分为not）。该算法cn在第一个递归级别上花费一些常量时间c，cn/2在下一个级别上花费时间（因为我们递归大小为n / 2的列表），cn/4在第三级上花费时间，依此类推。总耗时为cn + cn/2 + cn/4 + .... = 2cn = o(n)。

为什么分区大小取5而不是3？

如原始文件所述：

将列表除以5可确保最差情况下的分割为70-30。中位数的至少一半大于中位数，因此n / 5块中的至少一半具有至少3个元素，这产生了 3n/10分割，表示另一个分区在最坏的情况下为7n / 10。这样T(n) = T(n/5)+T(7n/10)+O(n). Since n/5+7n/10 < 1，最坏的运行时间为O(n)。

现在，我尝试将上述算法实现为：

public static int findKthLargestUsingMedian(Integer[] array, int k) {
        // Step 1: Divide the list into n/5 lists of 5 element each.
        int noOfRequiredLists = (int) Math.ceil(array.length / 5.0);
        // Step 2: Find pivotal element aka median of medians.
        int medianOfMedian =  findMedianOfMedians(array, noOfRequiredLists);
        //Now we need two lists split using medianOfMedian as pivot. All elements in list listOne will be grater than medianOfMedian and listTwo will have elements lesser than medianOfMedian.
        List<Integer> listWithGreaterNumbers = new ArrayList<>(); // elements greater than medianOfMedian
        List<Integer> listWithSmallerNumbers = new ArrayList<>(); // elements less than medianOfMedian
        for (Integer element : array) {
            if (element < medianOfMedian) {
                listWithSmallerNumbers.add(element);
            } else if (element > medianOfMedian) {
                listWithGreaterNumbers.add(element);
            }
        }
        // Next step.
        if (k <= listWithGreaterNumbers.size()) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithGreaterNumbers.toArray(new Integer[listWithGreaterNumbers.size()]), k);
        else if ((k - 1) == listWithGreaterNumbers.size()) return medianOfMedian;
        else if (k > (listWithGreaterNumbers.size() + 1)) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithSmallerNumbers.toArray(new Integer[listWithSmallerNumbers.size()]), k-listWithGreaterNumbers.size()-1);
        return -1;
    }

    public static int findMedianOfMedians(Integer[] mainList, int noOfRequiredLists) {
        int[] medians = new int[noOfRequiredLists];
        for (int count = 0; count < noOfRequiredLists; count++) {
            int startOfPartialArray = 5 * count;
            int endOfPartialArray = startOfPartialArray + 5;
            Integer[] partialArray = Arrays.copyOfRange((Integer[]) mainList, startOfPartialArray, endOfPartialArray);
            // Step 2: Find median of each of these sublists.
            int medianIndex = partialArray.length/2;
            medians[count] = partialArray[medianIndex];
        }
        // Step 3: Find median of the medians.
        return medians[medians.length / 2];
    }

只是为了完成，另一种算法利用了Priority Queue并花费了时间O(nlogn)。

public static int findKthLargestUsingPriorityQueue(Integer[] nums, int k) {
        int p = 0;
        int numElements = nums.length;
        // create priority queue where all the elements of nums will be stored
        PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>();

        // place all the elements of the array to this priority queue
        for (int n : nums) {
            pq.add(n);
        }

        // extract the kth largest element
        while (numElements - k + 1 > 0) {
            p = pq.poll();
            k++;
        }

        return p;
    }

这两种算法都可以测试为：

public static void main(String[] args) throws IOException {
        Integer[] numbers = new Integer[]{2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};
        System.out.println(findKthLargestUsingMedian(numbers, 8));
        System.out.println(findKthLargestUsingPriorityQueue(numbers, 8));
    }

如预期的输出是： 18 18

这种方法怎么样

维持a buffer of length k和a tmp_max，得到tmp_max为O（k）并完成n次，所以类似O(kn)

是对还是我错过了什么？

尽管它没有击败快速选择的平均情况和中值统计方法的最坏情况，但是它非常易于理解和实施。

遍历列表。如果当前值大于存储的最大值，则将其存储为最大值，然后将1-4降低并从列表中减去5。如果不是，则将其与2进行比较并执行相同的操作。重复，并对照所有5个存储值进行检查。这应该在O（n）中完成

我想提出一个答案

如果我们采用前k个元素并将其排序为k个值的链接列表

现在，即使对于最坏的情况，对于其他所有值，如果我们对其余的nk值进行插入排序，即使在最坏的情况下，比较次数也将为k *（nk），对于要排序的前k个值，将其设为k *（k- 1）所以它是（nk-k），即o（n）

干杯

可以在以下位置找到对中位数算法的解释，以从n中找到第k个最大整数：http : //cs.indstate.edu/~spitla/presentation.pdf

在c ++中的实现如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int findMedian(vector<int> vec){
//    Find median of a vector
    int median;
    size_t size = vec.size();
    median = vec[(size/2)];
    return median;
}

int findMedianOfMedians(vector<vector<int> > values){
    vector<int> medians;

    for (int i = 0; i < values.size(); i++) {
        int m = findMedian(values[i]);
        medians.push_back(m);
    }

    return findMedian(medians);
}

void selectionByMedianOfMedians(const vector<int> values, int k){
//    Divide the list into n/5 lists of 5 elements each
    vector<vector<int> > vec2D;

    int count = 0;
    while (count != values.size()) {
        int countRow = 0;
        vector<int> row;

        while ((countRow < 5) && (count < values.size())) {
            row.push_back(values[count]);
            count++;
            countRow++;
        }
        vec2D.push_back(row);
    }

    cout<<endl<<endl<<"Printing 2D vector : "<<endl;
    for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
            cout<<vec2D[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;

//    Calculating a new pivot for making splits
    int m = findMedianOfMedians(vec2D);
    cout<<"Median of medians is : "<<m<<endl;

//    Partition the list into unique elements larger than 'm' (call this sublist L1) and
//    those smaller them 'm' (call this sublist L2)
    vector<int> L1, L2;

    for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
            if (vec2D[i][j] > m) {
                L1.push_back(vec2D[i][j]);
            }else if (vec2D[i][j] < m){
                L2.push_back(vec2D[i][j]);
            }
        }
    }

//    Checking the splits as per the new pivot 'm'
    cout<<endl<<"Printing L1 : "<<endl;
    for (int i = 0; i < L1.size(); i++) {
        cout<<L1[i]<<" ";
    }

    cout<<endl<<endl<<"Printing L2 : "<<endl;
    for (int i = 0; i < L2.size(); i++) {
        cout<<L2[i]<<" ";
    }

//    Recursive calls
    if ((k - 1) == L1.size()) {
        cout<<endl<<endl<<"Answer :"<<m;
    }else if (k <= L1.size()) {
        return selectionByMedianOfMedians(L1, k);
    }else if (k > (L1.size() + 1)){
        return selectionByMedianOfMedians(L2, k-((int)L1.size())-1);
    }

}

int main()
{
    int values[] = {2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};

    vector<int> vec(values, values + 25);

    cout<<"The given array is : "<<endl;
    for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
        cout<<vec[i]<<" ";
    }

    selectionByMedianOfMedians(vec, 8);

    return 0;
}

还有Wirth的选择算法，它的实现比QuickSelect更简单。Wirth的选择算法比QuickSelect慢，但经过一些改进，它变得更快。

更详细地。使用弗拉基米尔·扎布罗德斯基（Vladimir Zabrodsky）的MODIFIND优化和3位中值枢轴选择，并注意算法分区部分的最后步骤，我提出了以下算法（可以想象为“ LefSelect”）：

#define F_SWAP(a,b) { float temp=(a);(a)=(b);(b)=temp; }

# Note: The code needs more than 2 elements to work
float lefselect(float a[], const int n, const int k) {
    int l=0, m = n-1, i=l, j=m;
    float x;

    while (l<m) {
        if( a[k] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[k]);
        if( a[j] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[j]);
        if( a[j] < a[k] ) F_SWAP(a[k],a[j]);

        x=a[k];
        while (j>k & i<k) {
            do i++; while (a[i]<x);
            do j--; while (a[j]>x);

            F_SWAP(a[i],a[j]);
        }
        i++; j--;

        if (j<k) {
            while (a[i]<x) i++;
            l=i; j=m;
        }
        if (k<i) {
            while (x<a[j]) j--;
            m=j; i=l;
        }
    }
    return a[k];
}

在我这里所做的基准测试中，LefSelect比QuickSelect快20-30％。

Haskell解决方案：

kthElem index list = sort list !! index

withShape ~[]     []     = []
withShape ~(x:xs) (y:ys) = x : withShape xs ys

sort []     = []
sort (x:xs) = (sort ls `withShape` ls) ++ [x] ++ (sort rs `withShape` rs)
  where
   ls = filter (<  x)
   rs = filter (>= x)

通过使用withShape方法来发现分区的大小而无需实际计算，即可实现中值解决方案的中值。

这是Randomized QuickSelect的C ++实现。这个想法是随机选择一个枢轴元素。要实现随机分区，我们使用随机函数rand（）在l和r之间生成索引，将随机生成的索引处的元素与最后一个元素交换，最后调用将最后一个元素用作枢轴的标准分区过程。

#include<iostream>
#include<climits>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int randomPartition(int arr[], int l, int r);

// This function returns k'th smallest element in arr[l..r] using
// QuickSort based method.  ASSUMPTION: ALL ELEMENTS IN ARR[] ARE DISTINCT
int kthSmallest(int arr[], int l, int r, int k)
{
    // If k is smaller than number of elements in array
    if (k > 0 && k <= r - l + 1)
    {
        // Partition the array around a random element and
        // get position of pivot element in sorted array
        int pos = randomPartition(arr, l, r);

        // If position is same as k
        if (pos-l == k-1)
            return arr[pos];
        if (pos-l > k-1)  // If position is more, recur for left subarray
            return kthSmallest(arr, l, pos-1, k);

        // Else recur for right subarray
        return kthSmallest(arr, pos+1, r, k-pos+l-1);
    }

    // If k is more than number of elements in array
    return INT_MAX;
}

void swap(int *a, int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// Standard partition process of QuickSort().  It considers the last
// element as pivot and moves all smaller element to left of it and
// greater elements to right. This function is used by randomPartition()
int partition(int arr[], int l, int r)
{
    int x = arr[r], i = l;
    for (int j = l; j <= r - 1; j++)
    {
        if (arr[j] <= x) //arr[i] is bigger than arr[j] so swap them
        {
            swap(&arr[i], &arr[j]);
            i++;
        }
    }
    swap(&arr[i], &arr[r]); // swap the pivot
    return i;
}

// Picks a random pivot element between l and r and partitions
// arr[l..r] around the randomly picked element using partition()
int randomPartition(int arr[], int l, int r)
{
    int n = r-l+1;
    int pivot = rand() % n;
    swap(&arr[l + pivot], &arr[r]);
    return partition(arr, l, r);
}

// Driver program to test above methods
int main()
{
    int arr[] = {12, 3, 5, 7, 4, 19, 26};
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]), k = 3;
    cout << "K'th smallest element is " << kthSmallest(arr, 0, n-1, k);
    return 0;
}

上述解决方案在最坏情况下的时间复杂度仍然是O（n2）。在最坏情况下，随机函数可能总是选择一个角元素。上述随机QuickSelect的预期时间复杂度为Θ（n）

1. 已创建优先级队列。
2. 将所有元素插入堆。

3. 调用poll（）k次。

   public static int getKthLargestElements(int[] arr)
   {
       PriorityQueue<Integer> pq =  new PriorityQueue<>((x , y) -> (y-x));
       //insert all the elements into heap
       for(int ele : arr)
          pq.offer(ele);
       // call poll() k times
       int i=0;
       while(i&lt;k)
        {
          int result = pq.poll();
        } 
      return result;        
   }
   

这是Javascript中的实现。

如果放开约束，你不能修改数组，你可以用两个指标来识别“当前分区”（在经典的快速排序风格防止利用额外的内存- http://www.nczonline.net/blog/2012/ 11/27 / computer-science-in-javascript-quicksort /）。

function kthMax(a, k){
    var size = a.length;

    var pivot = a[ parseInt(Math.random()*size) ]; //Another choice could have been (size / 2) 

    //Create an array with all element lower than the pivot and an array with all element higher than the pivot
    var i, lowerArray = [], upperArray = [];
    for (i = 0; i  < size; i++){
        var current = a[i];

        if (current < pivot) {
            lowerArray.push(current);
        } else if (current > pivot) {
            upperArray.push(current);
        }
    }

    //Which one should I continue with?
    if(k <= upperArray.length) {
        //Upper
        return kthMax(upperArray, k);
    } else {
        var newK = k - (size - lowerArray.length);

        if (newK > 0) {
            ///Lower
            return kthMax(lowerArray, newK);
        } else {
            //None ... it's the current pivot!
            return pivot;
        }   
    }
}  

如果要测试其性能，可以使用以下变体：

    function kthMax (a, k, logging) {
         var comparisonCount = 0; //Number of comparison that the algorithm uses
         var memoryCount = 0;     //Number of integers in memory that the algorithm uses
         var _log = logging;

         if(k < 0 || k >= a.length) {
            if (_log) console.log ("k is out of range"); 
            return false;
         }      

         function _kthmax(a, k){
             var size = a.length;
             var pivot = a[parseInt(Math.random()*size)];
             if(_log) console.log("Inputs:", a,  "size="+size, "k="+k, "pivot="+pivot);

             // This should never happen. Just a nice check in this exercise
             // if you are playing with the code to avoid never ending recursion            
             if(typeof pivot === "undefined") {
                 if (_log) console.log ("Ops..."); 
                 return false;
             }

             var i, lowerArray = [], upperArray = [];
             for (i = 0; i  < size; i++){
                 var current = a[i];
                 if (current < pivot) {
                     comparisonCount += 1;
                     memoryCount++;
                     lowerArray.push(current);
                 } else if (current > pivot) {
                     comparisonCount += 2;
                     memoryCount++;
                     upperArray.push(current);
                 }
             }
             if(_log) console.log("Pivoting:",lowerArray, "*"+pivot+"*", upperArray);

             if(k <= upperArray.length) {
                 comparisonCount += 1;
                 return _kthmax(upperArray, k);
             } else if (k > size - lowerArray.length) {
                 comparisonCount += 2;
                 return _kthmax(lowerArray, k - (size - lowerArray.length));
             } else {
                 comparisonCount += 2;
                 return pivot;
             }
     /* 
      * BTW, this is the logic for kthMin if we want to implement that... ;-)
      * 

             if(k <= lowerArray.length) {
                 return kthMin(lowerArray, k);
             } else if (k > size - upperArray.length) {
                 return kthMin(upperArray, k - (size - upperArray.length));
             } else 
                 return pivot;
     */            
         }

         var result = _kthmax(a, k);
         return {result: result, iterations: comparisonCount, memory: memoryCount};
     }

剩下的代码只是创建一些游乐场：

    function getRandomArray (n){
        var ar = [];
        for (var i = 0, l = n; i < l; i++) {
            ar.push(Math.round(Math.random() * l))
        }

        return ar;
    }

    //Create a random array of 50 numbers
    var ar = getRandomArray (50);   

现在，运行几次测试。由于Math.random（），每次都会产生不同的结果：

    kthMax(ar, 2, true);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 34, true);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);

如果对其进行几次测试，甚至凭经验可以看到迭代次数平均为O（n）〜=常数* n，并且k的值不会影响算法。

我想出了这个算法，似乎是O（n）：

假设k = 3，我们想找到数组中的第三大项目。我将创建三个变量，并将数组的每个项目与这三个变量中的最小值进行比较。如果数组item大于最小值，我们将min变量替换为item值。我们继续做同样的事情，直到数组结束。我们三个变量中的最小值是数组中的第三大项。

define variables a=0, b=0, c=0
iterate through the array items
    find minimum a,b,c
    if item > min then replace the min variable with item value
    continue until end of array
the minimum of a,b,c is our answer

而且，要找到第K个最大项，我们需要K个变量。

示例：（k = 3）

[1,2,4,1,7,3,9,5,6,2,9,8]

Final variable values:

a=7 (answer)
b=8
c=9

有人可以查看一下，让我知道我在想什么吗？

这是eladv建议的算法的实现（我也在这里用随机数据透视图实现）：

public class Median {

    public static void main(String[] s) {

        int[] test = {4,18,20,3,7,13,5,8,2,1,15,17,25,30,16};
        System.out.println(selectK(test,8));

        /*
        int n = 100000000;
        int[] test = new int[n];
        for(int i=0; i<test.length; i++)
            test[i] = (int)(Math.random()*test.length);

        long start = System.currentTimeMillis();
        random_selectK(test, test.length/2);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(end - start);
        */
    }

    public static int random_selectK(int[] a, int k) {
        if(a.length <= 1)
            return a[0];

        int r = (int)(Math.random() * a.length);
        int p = a[r];

        int small = 0, equal = 0, big = 0;
        for(int i=0; i<a.length; i++) {
            if(a[i] < p) small++;
            else if(a[i] == p) equal++;
            else if(a[i] > p) big++;
        }

        if(k <= small) {
            int[] temp = new int[small];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] < p)
                    temp[j++] = a[i];
            return random_selectK(temp, k);
        }

        else if (k <= small+equal)
            return p;

        else {
            int[] temp = new int[big];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] > p)
                    temp[j++] = a[i];
            return random_selectK(temp,k-small-equal);
        }
    }

    public static int selectK(int[] a, int k) {
        if(a.length <= 5) {
            Arrays.sort(a);
            return a[k-1];
        }

        int p = median_of_medians(a);

        int small = 0, equal = 0, big = 0;
        for(int i=0; i<a.length; i++) {
            if(a[i] < p) small++;
            else if(a[i] == p) equal++;
            else if(a[i] > p) big++;
        }

        if(k <= small) {
            int[] temp = new int[small];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] < p)
                    temp[j++] = a[i];
            return selectK(temp, k);
        }

        else if (k <= small+equal)
            return p;

        else {
            int[] temp = new int[big];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] > p)
                    temp[j++] = a[i];
            return selectK(temp,k-small-equal);
        }
    }

    private static int median_of_medians(int[] a) {
        int[] b = new int[a.length/5];
        int[] temp = new int[5];
        for(int i=0; i<b.length; i++) {
            for(int j=0; j<5; j++)
                temp[j] = a[5*i + j];
            Arrays.sort(temp);
            b[i] = temp[2];
        }

        return selectK(b, b.length/2 + 1);
    }
}

它类似于quickSort策略，在该策略中，我们选择一个任意枢轴，将较小的元素移到左侧，将较大的元素移到右侧。

    public static int kthElInUnsortedList(List<int> list, int k)
    {
        if (list.Count == 1)
            return list[0];

        List<int> left = new List<int>();
        List<int> right = new List<int>();

        int pivotIndex = list.Count / 2;
        int pivot = list[pivotIndex]; //arbitrary

        for (int i = 0; i < list.Count && i != pivotIndex; i++)
        {
            int currentEl = list[i];
            if (currentEl < pivot)
                left.Add(currentEl);
            else
                right.Add(currentEl);
        }

        if (k == left.Count + 1)
            return pivot;

        if (left.Count < k)
            return kthElInUnsortedList(right, k - left.Count - 1);
        else
            return kthElInUnsortedList(left, k);
    }

转到此链接的结尾：...........

http://www.geeksforgeeks.org/kth-smallestlargest-element-unsorted-array-set-3-worst-case-linear-time/

您可以找到O（n）时间和恒定空间中的第k个最小元素。如果我们认为该数组仅用于整数。

该方法是对数组值的范围进行二进制搜索。如果我们的min_value和max_value都在整数范围内，则可以对该范围进行二进制搜索。我们可以编写一个比较器函数，该函数将告诉我们任何值是最小的kth或小于最小的kth还是大于最小的kth。进行二进制搜索，直到达到第k个最小数字

这是该代码

类解决方案：

def _iskthsmallest(self, A, val, k):
    less_count, equal_count = 0, 0
    for i in range(len(A)):
        if A[i] == val: equal_count += 1
        if A[i] < val: less_count += 1

    if less_count >= k: return 1
    if less_count + equal_count < k: return -1
    return 0

def kthsmallest_binary(self, A, min_val, max_val, k):
    if min_val == max_val:
        return min_val
    mid = (min_val + max_val)/2
    iskthsmallest = self._iskthsmallest(A, mid, k)
    if iskthsmallest == 0: return mid
    if iskthsmallest > 0: return self.kthsmallest_binary(A, min_val, mid, k)
    return self.kthsmallest_binary(A, mid+1, max_val, k)

# @param A : tuple of integers
# @param B : integer
# @return an integer
def kthsmallest(self, A, k):
    if not A: return 0
    if k > len(A): return 0
    min_val, max_val = min(A), max(A)
    return self.kthsmallest_binary(A, min_val, max_val, k)

还有一种算法优于快速选择算法。这就是所谓的Floyd-Rivets（FR）算法。

原始文章：https : //doi.org/10.1145/360680.360694

可下载版本：http : //citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.309.7108&rep=rep1&type=pdf

Wikipedia文章https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Rivest_algorithm

我试图在C ++中实现quickselect和FR算法。我还将它们与标准C ++库实现std :: nth_element（基本上是quickselect和heapselect的内省混合）进行了比较。结果是快速选择，nth_element平均运行得差不多，但是FR算法运行了大约。是他们的两倍。

我用于FR算法的示例代码：

template <typename T>
T FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& n)
{
    if (n == 0)
        return *(std::min_element(data.begin(), data.end()));
    else if (n == data.size() - 1)
        return *(std::max_element(data.begin(), data.end()));
    else
        return _FRselect(data, 0, data.size() - 1, n);
}

template <typename T>
T _FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& left, const size_t& right, const size_t& n)
{
    size_t leftIdx = left;
    size_t rightIdx = right;

    while (rightIdx > leftIdx)
    {
        if (rightIdx - leftIdx > 600)
        {
            size_t range = rightIdx - leftIdx + 1;
            long long i = n - (long long)leftIdx + 1;
            long long z = log(range);
            long long s = 0.5 * exp(2 * z / 3);
            long long sd = 0.5 * sqrt(z * s * (range - s) / range) * sgn(i - (long long)range / 2);

            size_t newLeft = fmax(leftIdx, n - i * s / range + sd);
            size_t newRight = fmin(rightIdx, n + (range - i) * s / range + sd);

            _FRselect(data, newLeft, newRight, n);
        }
        T t = data[n];
        size_t i = leftIdx;
        size_t j = rightIdx;
        // arrange pivot and right index
        std::swap(data[leftIdx], data[n]);
        if (data[rightIdx] > t)
            std::swap(data[rightIdx], data[leftIdx]);

        while (i < j)
        {
            std::swap(data[i], data[j]);
            ++i; --j;
            while (data[i] < t) ++i;
            while (data[j] > t) --j;
        }

        if (data[leftIdx] == t)
            std::swap(data[leftIdx], data[j]);
        else
        {
            ++j;
            std::swap(data[j], data[rightIdx]);
        }
        // adjust left and right towards the boundaries of the subset
        // containing the (k - left + 1)th smallest element
        if (j <= n)
            leftIdx = j + 1;
        if (n <= j)
            rightIdx = j - 1;
    }

    return data[leftIdx];
}

template <typename T>
int sgn(T val) {
    return (T(0) < val) - (val < T(0));
}

我要做的是：

initialize empty doubly linked list l
for each element e in array
    if e larger than head(l)
        make e the new head of l
        if size(l) > k
            remove last element from l

the last element of l should now be the kth largest element

您可以简单地存储指向链表中第一个和最后一个元素的指针。它们仅在更新列表时更改。

更新：

initialize empty sorted tree l
for each element e in array
    if e between head(l) and tail(l)
        insert e into l // O(log k)
        if size(l) > k
            remove last element from l

the last element of l should now be the kth largest element

首先，我们可以从耗时O（n）的未排序数组构建BST，然后从BST中可以找到O（log（n））的第k个最小元素，其总数达到O（n）的数量级。