了解Dijkstra算法的时间复杂度计算

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据我了解，我使用下面给出的邻接表将Dijkstra算法的时间复杂度计算为big-O表示法。它没有按预期的方式出现，这使我逐步了解了它。

  1. 每个顶点可以连接到（V-1）个顶点，因此每个顶点的相邻边数为V-1。假设E表示连接到每个顶点的V-1边。
  2. 在最小堆中查找和更新每个相邻顶点的权重为O（log（V））+ O（1）或O(log(V))。
  3. 因此，从上面的步骤1和步骤2开始，更新顶点的所有相邻顶点的时间复杂度为E *（logV）。或E*logV。
  4. 因此，所有V个顶点的时间复杂度为V *（E * logV）即O(VElogV)。

但是Dijkstra算法的时间复杂度为O（ElogV）。为什么？

algorithm  graph  big-o  time-complexity  dijkstra 
— 梅娜（Meena Chaudhary）
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Answers:

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Dijkstra的最短路径算法是O(ElogV)：

  • V 是顶点数
  • E 是边的总数

您的分析是正确的，但是符号有不同的含义！您说算法在O(VElogV)哪里：

  • V 是顶点数
  • E 是连接到单个节点的最大边数。

让我们将您重命名E为N。所以一种分析说O(ElogV)，另一种说O(VNlogV)。两者都是正确的，事实上E = O(VN)。不同之处在于这ElogV是一个更严格的估计。

— 沙巴兹
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谢谢，您的意思是，nextedgeEdges * totalVertices = totalEdges（E）。但是您能否阐明更严格的界限/估计的真正含义。
— Meena Chaudhary 2014年
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@MeenaChaudhary，更确切地说maxAdjacentEdgesOfAVertex * totalVertices >= totalEdges，这就是界限。严格的界限意味着更接近事实的估计。例如，如果算法执行n + 10运算，则可以说O(n^2)是对的，也O(nlogn)可以是对的。但这也O(n)比其他两个更紧密。可能的最紧密边界被称为Θ，因此在上面的示例中n + 1 = Θ(n)。（的定义Θ是上限和下限）
— Shahbaz 2014年
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@SeldomNeedy，是的，log以2为底。尽管只要使用O符号，它就没有区别，因为log[10](V) = log[10](2)*log[2](V)，所以区别仅在于一个常数，不会改变算法的时间顺序。
— Shahbaz 2015年
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@SeldomNeedy，哦，使用计算机算法，log除2以外的任何其他基数都很少需要，因此隐含2基数。（看看我在那儿做了什么？）
— Shahbaz
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我想指出的是，此时间复杂度O(E log V)假设给定的图形已连接。例如，在稀疏图具有许多孤立顶点的情况下，它将不成立。这就是为什么Dijkstra二进制堆实现的最坏情况是O(V log V + E log V)。当我们无法假设时E >= V，它就不能简化为O(E log V)
— DBedrenko
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设n为顶点数，m为边数。

由于使用Dijkstra的算法，您有O（n）个delete-min s和O（m）reduction_key s（每个开销为O（logn）），因此使用二进制堆的总运行时间为O（log（n）（m + n）） 。这是完全可能的摊销成本decrease_key使用导致的O总运行时间斐波那契堆下降到O（1）（nlogn + M），但在实践中，这往往不是因为FHS的常数因子的处罚做了相当大的在随机图上，reduction_key s的数量远低于其各自的上限（在O（n * log（m / n）的范围内更大，在m = O（n）的稀疏图上更好）。因此，请始终注意一个事实，即总运行时间取决于您的数据结构和输入类。

— 音调
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据我了解，添加了更详细的解释，以防万一：

  • O(对于使用最小堆的每个顶点：线性地对每个边缘：将顶点推到边缘指向的最小堆)
  • V =顶点数
  • O(V * (从最小堆中弹出的顶点+在边缘中找到未访问的顶点*将其推到最小堆中))
  • E =每个顶点上的边数
  • O(V * (从最小堆弹出的顶点+ E *将未访问的顶点推送到最小堆))。请注意，在这里我们可以多次推送相同的节点，然后才能“访问”它。
  • O(V * (log(堆大小) + E * log(堆大小)))
  • O(V * ((E + 1) * log(堆大小)))
  • O(V * (E * log(堆大小)))
  • E = V 因为每个顶点都可以引用所有其他顶点
  • O(V * (V * log(堆大小)))
  • O(V^2 * log(堆大小))
  • 堆大小是V^2因为每次我们想要更新距离时都推入它，并且每个顶点最多可以有V个比较。例如，对于最后一个顶点，第一个顶点具有distance 10，第二个顶点具有9，第三个顶点具有8，依此类推，因此，我们每次推动更新
  • O(V^2 * log(V^2))
  • O(V^2 * 2 * log(V))
  • O(V^2 * log(V))
  • V^2也是边的总数，所以如果我们让它E = V^2（如官方命名那样），我们将得到O(E * log(V))
— 山姆
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很好放！
— Rishi
@sam您可以解释这部分““ E = V，因为每个顶点都可以引用所有其他顶点”
— MrA
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@MrA如果您具有顶点A，B，C，则A可以连接到B和C。B可以连接到A和C。C可以连接到A和B。因此，任何顶点都可以连接到V-1个总顶点（ （本身除外），因此每个顶点上可以有V-1个边，基本上等于V。因此，E = V
— 山姆
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在密集（或完整）图中， E logV > V^2

使用链接数据和二进制堆并不总是最好的。

在这种情况下，我更喜欢仅使用矩阵数据并逐行保存最小长度。

只是V^2需要时间。

以防万一E < V / logV。

或者，每个顶点的最大边小于某个常数K。

然后使用二进制堆。

— 学生们
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让我们尝试分析CLRS本书中给出的算法。

在此处输入图片说明

对于第7行中的每个循环：对于任何顶点，请说“ u”，循环运行的次数等于“ u”的相邻顶点的数目。节点的相邻顶点数始终小于或等于图中的边总数。

如果我们取V（由于第4行中的while循环）和E（由于第7行中的每个循环）并将其复杂度计算为V E log（V），则相当于假设每个顶点上都有E边入射，但实际上在单个顶点上入射的边缘最多不超过E个。（对于单个顶点而言，至多E个相邻顶点发生在内部顶点为星图的情况下）

— 罗伊斯
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