一起计算正弦和余弦的最快方法是什么？

我想同时计算一个值的正弦和余弦（例如，创建旋转矩阵）。当然，我可以像一样一个接一个地分别计算它们a = cos(x); b = sin(x);，但是我想知道在同时使用两个值时是否有更快的方法。

编辑： 总结到目前为止的答案：

• 弗拉德说，那是asm命令FSINCOS计算这两个（几乎在FSIN单独调用的同时）

• 像志注意到的那样，这种优化有时已经由编译器完成（使用优化标志时）。

• caf指出，函数sincos和sincosf可能是可用的，可以通过直接包括math.h

• 关于使用查找表的 tanascius方法存在争议。（但是，在我的计算机上和在基准测试情况下，它的运行速度比以前快3倍sincos 32位浮点的精度几乎。）

• 乔尔·古德温（Joel Goodwin）链接了一种极快的近似技术的有趣方法，具有很高的准确度（对我来说，这比查表还要快）

现代的Intel / AMD处理器具有FSINCOS用于同时计算正弦和余弦函数的指令。如果需要强大的优化，也许应该使用它。

这是一个小示例：http : //home.broadpark.no/~alein/fsincos.html

这是另一个示例（用于MSVC）：http : //www.codeguru.com/forum/showthread.php? t=328669

这是另一个示例（带有gcc）：http : //www.allegro.cc/forums/thread/588470

希望其中之一能有所帮助。（抱歉，我自己没有使用此指令。）

由于它们在处理器级别受支持，因此我希望它们比表查找要快得多。

编辑：
Wikipedia建议FSINCOS在387个处理器中添加该处理器，因此您几乎找不到不支持该处理器的处理器。

编辑：
英特尔的文档指出，该FSINCOS速度仅比FDIV（即浮点除法）慢5倍。

编辑：
请注意，并非所有现代编译器都会将sine和cosine的计算优化为对的调用FSINCOS。特别是我的VS 2008并不是那样。

编辑：
第一个示例链接已失效，但Wayback Machine上仍有一个版本。

现代的x86处理器具有fsincos指令，该指令可以完全满足您的要求-同时计算sin和cos。一个好的优化编译器应检测出计算出相同值的sin和cos的代码，并使用fsincos命令执行此操作。

花了一些时间才能使编译器标志起作用，但是：

$ gcc --version
i686-apple-darwin9-gcc-4.0.1 (GCC) 4.0.1 (Apple Inc. build 5488)
Copyright (C) 2005 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

$ cat main.c
#include <math.h> 

struct Sin_cos {double sin; double cos;};

struct Sin_cos fsincos(double val) {
  struct Sin_cos r;
  r.sin = sin(val);
  r.cos = cos(val);
  return r;
}

$ gcc -c -S -O3 -ffast-math -mfpmath=387 main.c -o main.s

$ cat main.s
    .text
    .align 4,0x90
.globl _fsincos
_fsincos:
    pushl   %ebp
    movl    %esp, %ebp
    fldl    12(%ebp)
    fsincos
    movl    8(%ebp), %eax
    fstpl   8(%eax)
    fstpl   (%eax)
    leave
    ret $4
    .subsections_via_symbols

Tada，它使用fsincos指令！

当您需要性能时，可以使用预先计算的sin / cos表（一个表可以作为字典存储）。好吧，这取决于您需要的精度（也许表格会很大），但是它应该非常快。

从技术上讲，您可以通过使用复数和Euler公式来实现。因此，类似（C ++）

complex<double> res = exp(complex<double>(0, x));
// or equivalent
complex<double> res = polar<double>(1, x);
double sin_x = res.imag();
double cos_x = res.real();

应该一步就给您正弦和余弦。在内部如何完成此操作是所使用的编译器和库的问题。用这种方法可能（而且可能）花费更长的时间（只是因为Euler公式主要用于exp使用sin和cos-而不是反过来计算复数），但是可能会有一些理论上的优化可能。

编辑

在标题<complex>为GNU C ++ 4.2使用的明确的计算sin和cos里面polar，因此它不寻求优化技术太好那里，除非编译器做了一些魔术（见-ffast-math和-mfpmath开关写在驰的答案）。

您可以计算其中一个，然后使用身份：

cos（x）2 = 1-sin（x）2

但是正如@tanascius所说，要使用预先计算的表。

如果使用GNU C库，则可以执行以下操作：

#define _GNU_SOURCE
#include <math.h>

并且您将获得sincos()，sincosf()和sincosl()一起计算两个值的函数的声明-大概是针对目标体系结构的最快方式。

该论坛页面上有很多非常有趣的内容，这些内容专注于快速找到良好的近似值：http : //www.devmaster.net/forums/showthread.php? t= 5784

免责声明：我自己没有使用过这些东西。

2018年2月22日更新：Wayback Machine是现在访问原始页面的唯一方法：https ://web.archive.org/web/20130927121234/http: //devmaster.net/posts/9648/fast-and-accurate-正弦余弦

如caf所示，许多C数学库已经具有sincos（）。值得注意的例外是MSVC。

• Sun至少从1987年（二十三年；我有一份精装的手册页）开始拥有sincos（）
• HPUX 11于1997年推出（但HPUX 10.20中没有）
• 在2.1版（1999年2月）中添加到glibc
• 成为gcc 3.4（2004）中的内置__builtin_sincos（）。

关于查找，Eric S. Raymond在“ Unix编程艺术”（2004年）（第12章）中明确表示这是一个坏主意（目前）。

“另一个例子是预先计算小型表，例如，按度数计算的sin（x）表用于优化3D图形引擎中的旋转，在现代计算机上将占用365×4字节。在处理器获得比内存更快的速度之前，需要进行缓存，这显然是一种速度优化，如今，每次重新计算可能要快得多，而不是要为表造成的额外高速缓存未命中的百分比付费。

“但是将来，随着高速缓存的增长，这种情况可能会再次发生。更广泛地讲，许多优化是暂时的，并且随着成本比率的变化很容易变成悲观。唯一的了解方法就是进行衡量和观察。” （摘自Unix编程艺术）

但是，从上面的讨论来看，并非所有人都同意。

我认为查找表不一定是解决此问题的好主意。除非您的精度要求非常低，否则表格必须很大。而且，当从主存储器中获取值时，现代CPU可以执行大量计算。这不是可以通过论证（甚至不是我的），测试，测量和考虑数据来正确回答的问题之一。

但是我希望您能在诸如AMD的ACML和英特尔的MKL之类的库中找到SinCos的快速实现。

如果您愿意使用商业产品，并且同时计算许多sin / cos计算（以便可以使用矢量函数），则应查看Intel的Math Kernel Library。

具有sincos功能

根据该文档，在高精度模式下，内核2二重奏的平均时钟时间为13.08个时钟/元素，我认为这将甚至快于fsincos。

本文介绍如何构造同时生成正弦和余弦的抛物线算法：

DSP技巧：正弦和余弦的同时抛物线近似

http://www.dspguru.com/dsp/tricks/parabolic-approximation-of-sin-and-cos

当性能对于此类事情至关重要时，引入查询表就很常见了。

对于创造性的方法，如何扩展泰勒级数？由于它们具有相似的术语，因此您可以执行以下伪操作：

numerator = x
denominator = 1
sine = x
cosine = 1
op = -1
fact = 1

while (not enough precision) {
    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    cosine += op * numerator / denominator

    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    sine += op * numerator / denominator

    op *= -1
}

这意味着您要执行以下操作：从x和1开始计算正弦和余弦，遵循以下模式-减去x ^ 2/2！从余弦中减去x ^ 3/3！从正弦开始，加x ^ 4/4！余弦，加x ^ 5/5！正弦...

我不知道这是否会表现出色。如果您需要的精度比内置sin（）和cos（）所提供的精度低，则可以选择。

CEPHES库中有一个很好的解决方案，它可以非常快地运行，您可以灵活地添加/删除精度，而这会花费更多/更少的CPU时间。

请记住，cos（x）和sin（x）是exp（ix）的实部和虚部。因此，我们要计算exp（ix）来获得两者。我们预先计算了一些介于0和2pi之间的y离散值的exp（iy）。我们将x移到间隔[0，2pi）。然后我们选择最接近x的y并写出
exp（ix）= exp（iy +（ix-iy））= exp（iy）exp（i（xy））。

我们从查找表中获得exp（iy）。而且| xy | 很小（最多y值之间的距离的一半），泰勒级数将在短时间内很好地收敛，因此我们将其用于exp（i（xy））。然后我们只需要一个复杂的乘法就可以得到exp（ix）。

另一个不错的特性是您可以使用SSE将其向量化。

您可能想看看http://gruntthepeon.free.fr/ssemath/，它提供了一个受CEPHES库启发的SSE矢量化实现。它具有良好的准确度（与sin / cos的最大偏差约为5e-8）和速度（在一次调用中略胜过fsincos，并且在多个值上均是明显的赢家）。

我在这里发布了一个涉及嵌入式ARM装配的解决方案，它能够一次计算两个角度的正弦和余弦：ARMv7 + NEON的快速正弦/余弦

在javascript中，可以同时找到sin和cos函数的准确而又快速的近似值：http : //danisraelmalta.github.io/Fmath/ （很容易导入到c / c ++）

您是否考虑过为两个函数声明查找表？您仍然必须“计算” sin（x）和cos（x），但是如果您不需要很高的准确性，那肯定会更快。

MSVC编译器可以使用（内部）SSE2函数

 ___libm_sse2_sincos_ (for x86)
 __libm_sse2_sincos_  (for x64)

在优化的版本中，如果指定了适当的编译器标志（至少/ O2 / arch：SSE2 / fp：fast）。这些函数的名称似乎暗示它们不计算单独的sin和cos，而是“一步一步”计算。

例如：

void sincos(double const x, double & s, double & c)
{
  s = std::sin(x);
  c = std::cos(x);
}

使用/ fp：fast汇编（对于x86）：

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    ___libm_sse2_sincos_
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
shufpd  xmm0, xmm0, 1
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

不带/ fp：fast但带/ fp：precise（这是默认设置）的汇编程序（对于x86）调用单独的sin和cos：

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_sin_precise
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_cos_precise
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

因此，/ fp：fast是sincos优化所必需的。

但请注意

___libm_sse2_sincos_

可能不像

__libm_sse2_sin_precise
__libm_sse2_cos_precise

由于名称末尾缺少“精确度”。

在我的“略微”较旧的系统（英特尔酷睿2 Duo E6750）上，使用最新的MSVC 2019编译器并进行了适当的优化，我的基准测试显示，sincos调用比单独的sin和cos调用快约2.4倍。