对几乎排序的数组排序（元素错位不超过k）

最近有人问我这个面试问题：

您将得到一个几乎已排序的数组，因为每个N元素的错位可能不超过k正确排序顺序的位置。寻找一种时空高效的算法对数组进行排序。

我有O(N log k)如下解决方案。

让我们来表示arr[0..n)从索引0（包括）到N（不包括）的数组元素。

• 分类 arr[0..2k)
  • 现在我们知道arr[0..k)它们处于最终排序位置...
  • ...但是arr[k..2k)可能仍然被放错位置k！
• 分类 arr[k..3k)
  • 现在我们知道arr[k..2k)它们处于最终排序位置...
  • ...但arr[2k..3k)可能仍会被k
• 分类 arr[2k..4k)
• ....
• 直到您进行排序arr[ik..N)，然后您就完成了！
  • 当您2k剩余的元素少于时，此最后一步可能会比其他步骤便宜

在每个步骤中，您最多要对中的2k元素进行排序，请O(k log k)至少k在每个步骤的末尾将元素置于其最终排序位置。有O(N/k)步骤，因此总体复杂度为O(N log k)。

我的问题是：

• 是O(N log k)最优的吗？这可以改善吗？
• 您能做到这一点而无需（部分）重新排序相同的元素吗？

正如鲍勃·塞奇威克（Bob Sedgewick）在其论文工作（及其后续文章）中所展示的那样，插入排序绝对可以压碎“几乎排序的数组”。在这种情况下，您的渐近看起来不错，但如果k <12，我敢打赌，每次插入排序都会获胜。我不知道为什么插入排序效果如此好，但是有一个很好的解释，但是查找的地方应该在Sedgewick的一本教科书《算法》中（他为不同的语言编写了许多版本）。

• 我不知道O（N log k）是否最优，但更重要的是，我一点也不在乎-如果k小，那么这就是常数因素，如果k大，那么您也可以对数组进行排序。

• 插入排序将解决此问题，而无需重新排序相同的元素。

对于算法类来说，Big-O表示法非常好，但是在现实世界中，常量很重要。忽视这一点太容易了。（我说这是一位教授Big-O表示法的教授！）

如果仅使用比较模型，则O（n log k）是最佳的。考虑k = n的情况。

要回答您的另一个问题，是的，可以通过使用堆来执行此操作而无需排序。

使用2k元素的最小堆。首先插入2k个元素，然后删除最小值，再插入下一个元素，依此类推。

这样可以保证O（n log k）时间和O（k）空间，并且堆通常具有足够小的隐藏常量。

已经指出，一种渐近最优的解决方案使用最小堆，我只想提供Java代码：

public void sortNearlySorted(int[] nums, int k) {
  PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
  for (int i = 0; i < k; i++) {
    minHeap.add(nums[i]);
  }

  for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
    if (i + k < nums.length) {
      minHeap.add(nums[i + k]);
    }
    nums[i] = minHeap.remove();
  }
}

由于k显然应该很小，所以插入排序可能是最明显且最普遍接受的算法。

在对随机元素进行插入排序时，您必须扫描N个元素，并且每个元素必须平均移动N / 2个位置，从而使总操作量达到〜N * N / 2。“ / 2”常数在big-O（或类似）表征中被忽略，从而导致O（N ²）复杂性。

在您提议的情况下，预期的运算数为〜N * K / 2，但是由于它k是一个常数，因此k/2在big-O表征中会忽略整个项，因此总体复杂度为O（N）。

如果k足够大，您的解决方案就是一个很好的解决方案。就时间复杂度而言，没有更好的解决方案。每个元素都可能错位放置k，这意味着您需要学习log2 k一些信息才能正确放置它，这意味着您log2 k至少需要进行比较-因此，它至少必须具有一定的复杂性O(N log k)。

但是，正如其他人所指出的那样，k常数很小会杀死您。在这种情况下，请使用每次操作都非常快的操作，例如插入排序。

如果您确实想获得最佳效果，则可以实现这两种方法，然后根据进行选择k。