0.0和1.0之间有多少个双数？

这是我多年来一直在想的事情，但是我从来没有花时间问过。

许多（伪）随机数生成器生成0.0到1.0之间的随机数。从数学上讲，此范围内有无限个数，但它double是一个浮点数，因此精度有限。

所以问题是：

1. double0.0和1.0之间有多少个数字？
2. 1和2之间的数字是否一样多？在100和101之间？在10 ^ 100和10 ^ 100 + 1之间？

注意：如果有所作为，我对Java的定义double特别感兴趣。

Java double采用IEEE-754格式，因此它们有52位的分数；因此，在任意两个相邻的2的幂之间（包括一个double且不包括下一个），将有2到52的幂不同（即其中的4503599627370496）。例如，这是double包含0.5到排除1.0之间的distance s 的数量，也恰好有很多位于包含1.0到排除2.0之间的distance s，依此类推。

doubles在0.0和1.0之间进行计数比在2的幂之间进行计数更困难，因为该范围内包含2的很多幂，而且，一个也进入了非正规数的棘手问题。指数的11位中有10位涵盖了所讨论的范围，因此，包括非规格化的数字（我认为是几种NaN），您的doubles的幂是1024 的2的幂次之和- 2**62总数之和。不包括非规范化的＆c，我相信这个数字将是1023次2**52。

对于“ 100到100.1”之类的任意范围，这甚至更加困难，因为上限不能精确地表示为a double（不是2的幂的精确倍数）。作为一个方便的近似值，由于2的幂之间的线性关系是线性的，因此您可以说该范围是0.1 / 642的幂（64和128）之间的跨度的th，因此您可以期望

(0.1 / 64) * 2**52

与众不同的doubles-得出7036874417766.4004...或给出一或两个;-)。

每个double表示形式介于之间0x0000000000000000并0x3ff0000000000000位于[0.0，1.0]之间的值。那是（2 ^ 62-2 ^ 52）个不同的值（加上或减去一对，取决于您是否计算端点）。

间隔[1.0，2.0]对应于0x3ff0000000000000和之间的表示形式0x400000000000000。那是2 ^ 52个不同的值。

间隔[100.0，101.0]对应于0x4059000000000000和之间的表示形式0x4059400000000000；那是2 ^ 46个不同的值。

在10 ^ 100和10 ^ 100 +1之间没有双打。这些数字中的任何一个都不能用双精度来表示，并且它们之间没有双精度。最接近的两个双精度数字是：

99999999999999982163600188718701095...

和

10000000000000000159028911097599180...

其他人已经解释说，在[0.0，1.0]范围内大约有2 ^ 62的两倍。
（不是真的令人吃惊：有近2 ^ 64个不同有限双打;其中一半是正的，和大约一半的那些是<1.0。）

但是您提到了随机数生成器：请注意，生成0.0到1.0之间的数字的随机数生成器通常不能生成所有这些数字。通常，它只会产生n / 2 ^ 53形式的数字，其中n为整数（例如，参见Java文档nextDouble）。因此，通常只有大约2 ^ 53（+/- 1，取决于所包括的端点）可能的random()输出值。这意味着将永远不会生成[0.0，1.0]中的大多数双打。

Java的新数学文章，第2部分： IBM的浮点数提供了以下代码片段来解决此问题（以float形式，但我怀疑它也可以用于double形式）：

public class FloatCounter {

    public static void main(String[] args) {
        float x = 1.0F;
        int numFloats = 0;
        while (x <= 2.0) {
            numFloats++;
            System.out.println(x);
            x = Math.nextUp(x);
        }
        System.out.println(numFloats);
    }
}

他们对此有以下评论：

事实证明，在1.0和2.0（含）之间，总共有8,388,609个浮点数；很大，但几乎没有存在于此范围内的实数的无穷大。连续的数字大约相隔0.0000001。此距离称为最低精度单位的ULP或最后一个单位。

1. 2 ^ 53-64位浮点数（包括隐藏位）的有效位/尾数的大小。
2. 大致上可以，因为sifnificand是固定的，但指数发生了变化。

有关更多信息，请参见Wikipedia文章。

Java double是IEEE 754 binary64数字。

这意味着我们需要考虑：

1. 尾数为52位
2. 指数是具有1023偏差的11位数字（即添加了1023）
3. 如果指数全为0，尾数不为零，则该数字被认为是非标准化的

这基本上意味着总共有2 ^ 62-2 ^ 52 + 1个可能的双重表示形式，根据标准，这些表示形式介于0和1之间。请注意，2 ^ 52 + 1是要去除未归一化的情况数字。

请记住，如果尾数为正，但指数为负，则数为正，但小于1 :-)

对于其他数字，这有点困难，因为边缘整数可能无法以IEEE 754表示形式精确地表示，并且因为指数中还使用其他位来表示数字，所以数字越大表示数字越小不同的值。