统计信息：Python中的组合

我需要计算在Python combinatorials（NCR），但无法找到的功能做在math，numpy或stat 图书馆。类似于函数的类型：

comb = calculate_combinations(n, r)

我需要可能的组合数量，而不是实际组合，因此itertools.combinations我对此并不感兴趣。

最后，我要避免使用阶乘，因为我将要计算其组合的数字可能会太大，并且阶乘将变得非常可怕。

这似乎是一个非常容易回答的问题，但是我被有关生成所有实际组合的问题淹没了，这不是我想要的。

请参阅scipy.special.comb（旧版本的scipy中的scipy.misc.comb）。当exact为False时，它使用伽马函数来获得良好的精度而无需花费很多时间。在确切的情况下，它返回一个任意精度的整数，这可能需要很长时间才能计算出来。

为什么不自己写呢？这是一线之类的：

from operator import mul    # or mul=lambda x,y:x*y
from fractions import Fraction

def nCk(n,k): 
  return int( reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1) )

测试-打印Pascal的三角形：

>>> for n in range(17):
...     print ' '.join('%5d'%nCk(n,k) for k in range(n+1)).center(100)
...     
                                                   1                                                
                                                1     1                                             
                                             1     2     1                                          
                                          1     3     3     1                                       
                                       1     4     6     4     1                                    
                                    1     5    10    10     5     1                                 
                                 1     6    15    20    15     6     1                              
                              1     7    21    35    35    21     7     1                           
                           1     8    28    56    70    56    28     8     1                        
                        1     9    36    84   126   126    84    36     9     1                     
                     1    10    45   120   210   252   210   120    45    10     1                  
                  1    11    55   165   330   462   462   330   165    55    11     1               
               1    12    66   220   495   792   924   792   495   220    66    12     1            
            1    13    78   286   715  1287  1716  1716  1287   715   286    78    13     1         
         1    14    91   364  1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364    91    14     1      
      1    15   105   455  1365  3003  5005  6435  6435  5005  3003  1365   455   105    15     1   
    1    16   120   560  1820  4368  8008 11440 12870 11440  8008  4368  1820   560   120    16     1
>>> 

PS。编辑以替换int(round(reduce(mul, (float(n-i)/(i+1) for i in range(k)), 1))) ，int(reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1))因此对于大N / K不会出错

在Google代码上快速搜索给出了（它使用了@Mark Byers的答案中的公式）：

def choose(n, k):
    """
    A fast way to calculate binomial coefficients by Andrew Dalke (contrib).
    """
    if 0 <= k <= n:
        ntok = 1
        ktok = 1
        for t in xrange(1, min(k, n - k) + 1):
            ntok *= n
            ktok *= t
            n -= 1
        return ntok // ktok
    else:
        return 0

choose()比scipy.misc.comb()您需要确切答案快10倍（在所有0 <=（n，k）<1e3对上测试）。

def comb(N,k): # from scipy.comb(), but MODIFIED!
    if (k > N) or (N < 0) or (k < 0):
        return 0L
    N,k = map(long,(N,k))
    top = N
    val = 1L
    while (top > (N-k)):
        val *= top
        top -= 1
    n = 1L
    while (n < k+1L):
        val /= n
        n += 1
    return val

如果您想要确切的结果和速度，请尝试gmpy－gmpy.comb应该完全按照您的要求进行操作，而且速度非常快（当然，作为gmpy的原始作者，我有偏见；-）。

如果您想要精确的结果，请使用sympy.binomial。看来这是最快的方法。

x = 1000000
y = 234050

%timeit scipy.misc.comb(x, y, exact=True)
1 loops, best of 3: 1min 27s per loop

%timeit gmpy.comb(x, y)
1 loops, best of 3: 1.97 s per loop

%timeit int(sympy.binomial(x, y))
100000 loops, best of 3: 5.06 µs per loop

在许多情况下，数学定义的字面翻译是足够的（记住Python将自动使用大数算法）：

from math import factorial

def calculate_combinations(n, r):
    return factorial(n) // factorial(r) // factorial(n-r)

对于我测试的某些输入（例如n = 1000 r = 500），这比reduce另一种（目前投票率最高）答案中建议的一种衬板的速度快10倍以上。另一方面，@ JF Sebastian提供的代码片段的性能优于。

从开始Python 3.8，标准库现在包括math.comb用于计算二项式系数的函数：

math.comb（n，k）

这是从n个项中不重复选择k个项的方法的数量
n! / (k! (n - k)!)：

import math
math.comb(10, 5) # 252

这是另一种选择。该代码最初是用C ++编写的，因此可以将其反向移植到C ++以获取有限精度的整数（例如__int64）。优点是（1）它仅涉及整数运算，（2）通过执行连续的乘法和除法对，避免了膨胀整数值。我已经用Nas Banov的Pascal三角形测试了结果，它得到了正确的答案：

def choose(n,r):
  """Computes n! / (r! (n-r)!) exactly. Returns a python long int."""
  assert n >= 0
  assert 0 <= r <= n

  c = 1L
  denom = 1
  for (num,denom) in zip(xrange(n,n-r,-1), xrange(1,r+1,1)):
    c = (c * num) // denom
  return c

基本原理：为了最小化乘法和除法的数量，我们将表达式重写为

    n!      n(n-1)...(n-r+1)
--------- = ----------------
 r!(n-r)!          r!

为了尽可能避免乘法溢出，我们将按照以下STRICT顺序从左到右进行评估：

n / 1 * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * ... * (n-r+1) / r

我们可以证明按此顺序运算的整数算术是精确的（即无舍入误差）。

使用动态编程，时间复杂度为Θ（n * m），空间复杂度为Θ（m）：

def binomial(n, k):
""" (int, int) -> int

         | c(n-1, k-1) + c(n-1, k), if 0 < k < n
c(n,k) = | 1                      , if n = k
         | 1                      , if k = 0

Precondition: n > k

>>> binomial(9, 2)
36
"""

c = [0] * (n + 1)
c[0] = 1
for i in range(1, n + 1):
    c[i] = 1
    j = i - 1
    while j > 0:
        c[j] += c[j - 1]
        j -= 1

return c[k]

如果您的程序有上限n（例如n <= N），并且需要重复计算nCr（最好是>> N次），则使用lru_cache可以极大地提高性能：

from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def nCr(n, r):
    return 1 if r == 0 or r == n else nCr(n - 1, r - 1) + nCr(n - 1, r)

构造缓存（隐式完成）需要花费O(N^2)时间。随后的所有对的调用都nCr将返回O(1)。

您可以编写2个简单的函数，实际上比使用scipy.special.comb快5到8倍。实际上，您不需要导入任何额外的程序包，并且该函数非常易于阅读。诀窍是使用备忘录存储先前计算的值，并使用nCr的定义

# create a memoization dictionary
memo = {}
def factorial(n):
    """
    Calculate the factorial of an input using memoization
    :param n: int
    :rtype value: int
    """
    if n in [1,0]:
        return 1
    if n in memo:
        return memo[n]
    value = n*factorial(n-1)
    memo[n] = value
    return value

def ncr(n, k):
    """
    Choose k elements from a set of n elements - n must be larger than or equal to k
    :param n: int
    :param k: int
    :rtype: int
    """
    return factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k))

如果我们比较时间

from scipy.special import comb
%timeit comb(100,48)
>>> 100000 loops, best of 3: 6.78 µs per loop

%timeit ncr(100,48)
>>> 1000000 loops, best of 3: 1.39 µs per loop

使用sympy很容易。

import sympy

comb = sympy.binomial(n, r)

仅使用随Python分发的标准库：

import itertools

def nCk(n, k):
    return len(list(itertools.combinations(range(n), k)))

当n大于20时，直接公式会产生大整数。

因此，另一个回应是：

from math import factorial

reduce(long.__mul__, range(n-r+1, n+1), 1L) // factorial(r)

简短，准确和高效，因为它通过坚持使用long避免了python大整数。

与scipy.special.comb相比，它更准确，更快捷：

 >>> from scipy.special import comb
 >>> nCr = lambda n,r: reduce(long.__mul__, range(n-r+1, n+1), 1L) // factorial(r)
 >>> comb(128,20)
 1.1965669823265365e+23
 >>> nCr(128,20)
 119656698232656998274400L  # accurate, no loss
 >>> from timeit import timeit
 >>> timeit(lambda: comb(n,r))
 8.231969118118286
 >>> timeit(lambda: nCr(128, 20))
 3.885951042175293

这是使用内置备忘录修饰器的@ killerT2333代码。

from functools import lru_cache

@lru_cache()
def factorial(n):
    """
    Calculate the factorial of an input using memoization
    :param n: int
    :rtype value: int
    """
    return 1 if n in (1, 0) else n * factorial(n-1)

@lru_cache()
def ncr(n, k):
    """
    Choose k elements from a set of n elements,
    n must be greater than or equal to k.
    :param n: int
    :param k: int
    :rtype: int
    """
    return factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k))

print(ncr(6, 3))

这是为您提供的高效算法

for i = 1.....r

   p = p * ( n - i ) / i

print(p)

例如nCr（30,7）= fact（30）/（fact（7）* fact（23））=（30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24）/（1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7）

因此，只需从1到r运行循环即可获得结果。

对于相当大的输入，这可能与在纯python中完成的速度一样快：

def choose(n, k):
    if k == n: return 1
    if k > n: return 0
    d, q = max(k, n-k), min(k, n-k)
    num =  1
    for n in xrange(d+1, n+1): num *= n
    denom = 1
    for d in xrange(1, q+1): denom *= d
    return num / denom

此功能非常优化。

def nCk(n,k):
    m=0
    if k==0:
        m=1
    if k==1:
        m=n
    if k>=2:
        num,dem,op1,op2=1,1,k,n
        while(op1>=1):
            num*=op2
            dem*=op1
            op1-=1
            op2-=1
        m=num//dem
    return m