使用“ N”个节点，可能有多少个不同的二叉树和二叉树？

对于二叉树：无需考虑树节点值，我只对具有“ N”个节点的不同树拓扑感兴趣。

对于二叉搜索树：我们必须考虑树节点值。

我推荐我的同事尼克·帕兰特（Nick Parlante）的这篇文章（从他还是斯坦福大学的那一刻起）。结构上不同的二叉树的数量（问题12）具有一个简单的递归解决方案（封闭形式最终是加泰罗尼亚公式，@ codeka的答案已经提到）。

我不确定结构上不同的二叉搜索树（简称BST）的数量与“普通”二叉树的数量有什么不同-除非，如果通过“考虑树节点值”表示每个节点可能任何与BST条件兼容的数字，那么不同（但并非所有结构不同的BST）的数目是无限的。我怀疑你的意思是，所以，请说明你做的平均值，其具有一个例子！

1. 二叉树总数为=

2. 对i求和得出具有n个节点的二叉搜索树的总数。

基本情况是t（0）= 1和t（1）= 1，即有一个空的BST和一个节点的BST。

因此，通常您可以使用上述公式计算二叉搜索树的总数。在Google采访中有人问我一个与此公式有关的问题。问题是，总共有6个顶点的二叉搜索树总数是多少。所以答案是t（6）= 132

我想我给了你一些主意...

可以使用加泰罗尼亚数来计算二叉树的数量。

二进制搜索树的数量可以看作是递归的解决方案。即，二分搜索树的数量=（左二分搜索子树的数量）*（右二分搜索子树的数量）*（选择根的方式）

在BST中，只有元素之间的相对顺序很重要。因此，在不损失一般性的情况下，我们可以假设树中的不同元素为1，2，3，4，....，n。另外，让BST的数量由n个元素的f（n）表示。

现在我们有多种选择根的情况。

1. 选择1作为根，则不能在左侧子树上插入任何元素。n-1个元素将插入到右侧子树中。
2. 选择2作为根，可以在左侧子树中插入1个元素。可以在右侧子树上插入n-2个元素。
3. 选择3作为根，可以在左侧子树中插入2个元素。可以在右侧子树上插入n-3个元素。

......类似地，对于第i个元素作为根，i-1个元素可以在左侧，ni可以在右侧。

这些子树本身就是BST，因此，我们可以将公式总结为：

f（n）= f（0）f（n-1）+ f（1）f（n-2）+ .......... + f（n-1）f（0）

基本情况下，f（0）= 1，这是因为只有一种方法可以制作具有0个节点的BST。f（1）= 1，因为只有一种方法可以制作1个节点的BST。

如果没有。的节点数为N然后。

BST的不同数量=加泰罗尼亚（N）
结构上不同的二叉树的不同数量=加泰罗尼亚（N）

二叉树的不同数量为= N！*加泰罗尼亚语（N）

埃里克·利珀特（Eric Lippert）最近在此方面发表了一系列非常深入的博客文章：“每棵二叉树都有”和“每棵树都有”（此后还有更多内容）。

在回答您的特定问题时，他说：

具有n个节点的二叉树的数量由加泰罗尼亚数字（Catalan number）给出，该数字具有许多有趣的属性。第n个加泰罗尼亚数字由公式（2n）确定！/（n + 1）！n !，它呈指数增长。

具有n个节点的不同二叉树：

(1/(n+1))*(2nCn)

其中C =组合，例如。

n=6,
possible binary trees=(1/7)*(12C6)=132

(2n)!/n!*(n+1)!

The number of possible binary search tree with n nodes (elements,items) is

=(2n C n) / (n+1) = ( factorial (2n) / factorial (n) * factorial (2n - n) ) / ( n + 1 ) 

where 'n' is number of nodes  (elements,items ) 

Example :

for 
n=1 BST=1,
n=2 BST 2,
n=3 BST=5,
n=4 BST=14 etc

对于未标记的节点，正确答案应该是2nCn /（n + 1），如果节点被标记，则（2nCn）* n！/（n + 1）。

二叉树：

无需考虑价值，我们需要看一下结构。

由（2次幂n）-n

例如：对于三个节点，它是（2次幂3）-3 = 8-3 = 5个不同的结构

二进制搜索树：

我们甚至需要考虑节点值。我们称其为加泰罗尼亚语编号

由2n C n / n + 1给出