按位代替模运算符

我们知道例如2的幂的模可以这样表示：

  x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).

例子：

x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7 

一般两个数的无幂呢？

比方说：

x％7 ==？

首先，说这实际上是不准确的

x % 2 == x & 1

简单的反例：x = -1。在许多语言中，包括Java ，-1 % 2 == -1。也就是说，%不一定是模的传统数学定义。Java将其称为“余数运算符”。

关于按位优化，在按位算术中只能“轻松”完成两个模的幂。一般来说，基地只有模权力b可以“轻易”地与基地做b数字表示。

例如，对于非负数N，以10为底N mod 10^k仅取最低有效k数字。

参考文献

• JLS 15.17.3余数运算符％
• 维基百科/模运算

目前只有一个简单的方法来找到使用逐2 ^我数模。

根据链接，有一种巧妙的方法可以解决Mersenne案例，例如n％3，n％7...。n％5，n％255和特殊案例（例如n％6）都有特殊情况。

对于情况2 ^ i，（2，4，8，16 ...）

n % 2^i = n & (2^i - 1)

更复杂的很难解释。仅当您非常好奇时才阅读。

这仅适用于2的幂（并且通常只有正数的幂），因为它们具有独特的属性，即在二进制表示中只有一位被设置为1。因为没有其他数字类共享此属性，所以不能为大多数模表达式创建按位和表达式。

这是一种特殊情况，因为计算机以2为底数。这是可概括的：

（数量）_基础％基础^x

等价于（number）_base的最后x位数字。

除了2的幂以外，还有其他模数，这些模数存在有效的算法。

例如，如果x是32位无符号整数，则x％3 = popcnt（x＆0x55555555）-popcnt（x＆0xaaaaaaaa）

模数“ 7”，无“％”运算符

int a = x % 7;

int a = (x + x / 7) & 7;

没有&在二进制中使用按位与（）运算符，没有。证明草图：

假设有一个这样的值kx & k == x % (k + 1)，但k！= 2 ^ n-1。然后，如果x == k，则表达式x & k似乎“正确运行”，结果为k。现在，考虑x == ki：如果k中有任何“ 0”位，则有一些i大于0，在这些位置ki只能用1位表示。（例如，当减去100（4）时1011（11）必须变为0111（7），在这种情况下，当i = 4时000位变为100。）如果k表达式中的某个位必须从零变为一个代表き，则它无法正确计算x％（k + 1），在这种情况下应为ki，但无法实现按位布尔值，也无法在给定掩码的情况下生成该值。

在这种特定情况下（mod 7），我们仍然可以将％7替换为按位运算符：

// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
  while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
  return (x == 7)?0:x;
}

之所以起作用，是因为8％7 =1。显然，此代码可能比简单的x％7效率低，而且可读性也较低。

使用bitwise_and，bitwise_or和bitwise_not，您可以将任何位配置修改为另一位配置（即，这些运算符集“在功能上是完整的”）。但是，对于模数之类的运算，通用公式必然会非常复杂，我什至不必费心尝试重新创建它。