是|| 和！运算符足以做出所有可能的逻辑表达式？

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逻辑表达式( a && b ) （包括a和b具有布尔值）可以写成像!(!a || !b)，例如。这不是说&&是“不必要的”吗？这是否意味着所有逻辑表达式只能使用||和进行!？

logic  logical-operators 
— 杰克蛇
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83
这比Java问题更像是基本的符号逻辑问题，但可以。OR和NOT的组合可以用于构造其他所有内容。与AND和NOT相同。例如，当我在学校时，我们被教导仅使用与非门来构建所有组件，因为它们需要的晶体管更少。
— azurefrog
79
不要将以这种方式编写语句的能力与这样做的期望相混淆。语法糖是个好东西。
— azurefrog
20
许多逻辑门芯片仅提供NAND或NOR门，因为可以使用它们进行所有操作，并且生产-便宜A and B == !A nor !B == !(!A or !B)。同样A or B == !A nand !B == !(!A and !B)。显然，将相同的值传递给NAND或NOR的两个输入将获得与简单的NOT相同的结果。XOR和XNOR也可以，但更复杂。参见De Morgan的定理
— 基本的
16
这不是计算机科学的问题吗？我在这里看不到任何代码。特别是，实际上这是否正确将因实现方式而异，例如，在带有操作重载的C ++ 中，通常情况并非如此。
— Lightness Races in Orbit
6
@SnakeDoc我认为这里没有人提倡这样做。我相信这个问题实际上不是编程逻辑问题，而是理论逻辑问题。
— ryuu9187 2015年

Answers:

425

是的，正如其他答案所指出的那样，由||和组成的一组运算符!在功能上是完整的。这是一个有建设性的证明，展示了如何使用它们来表示布尔变量A和之间的所有十六种可能的逻辑连接词B：

请注意，NAND和NOR本身在功能上都是完整的（可以使用上面相同的方法证明），因此，如果您要验证一组运算符在功能上是完整的，则足以表明您可以表示NAND或NOR用它。

这是一个图表，显示了上面列出的每个连接词的维恩图：

在此处输入图片说明

[ 来源 ]

— 彼得·奥尔森
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20
很难说出这个问题是否有此意图，但是这个答案并没有解决短路行为（相关的，因为该问题询问的||不是|）还是副作用（相关的，因为对true，false，XOR和XNOR进行了扩展计算他们的参数要比原始常量或运算符多得多）。
— David Richerby
5
包含圆和过渡的圆构成一个Hasse图（en.wikipedia.org/wiki/Hasse_diagram）。（是的，我今天学到了新东西！）
— Kasper van den Berg
5
@DavidRicherby是的。据我所知，除XOR，XNOR，true和false外，副作用和评估次数应与内置等效项相同（例如!(!A || !B)，短路和评估次数与相同A && B）。我认为没有附加结构（例如a ? !b : b）就可以对XOR和XNOR进行此操作，并且如果可以保存值，则true或false都不是问题，因为可以通过定义true和false使用一些虚拟布尔变量来启动程序。
— 彼得·奥尔森
有趣的是，上面的列表包含16个操作。这与以下事实一致：对于有2个输入和1个输出的情况，有16个可能的真值表。
— Paul R
1
只是想添加另一个可视化作为表格供人们参考。与上述相同的来源。
— 2015年8
125

您所描述的是功能完整性。

这描述了一组逻辑运算符，足以“表达所有可能的真值表”。您的Java运算符集{ ||，! }就足够了；它对应于{∨，¬}集，该集列在“最小功能完备的算子集”部分。

所有真值表的集合意味着所有可能的4个布尔值的集合，它们可以是2个布尔值之间的运算结果。因为布尔值有2个可能的值，所以有2 4或16个可能的真值表。

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

这是真值表编号（0-15），产生真值的表||和!组合以及说明的表格。

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

还有许多其他这样的功能完备的集合，包括一个元素集{NAND}和{NOR}，它们在Java中没有相应的单个运算符。

— 格特曼
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4
+1以进行编辑。尽管计票方式有所不同，但我认为您的回答实际上比我现在更详细。
— 彼得·奥尔森
真相表我以为我在大学一年级后就把他们抛在了后面
— Barkermn01
80

是。

所有逻辑门可以由“或非”门制成。

由于“或非”门可以由“非”和“或”构成，因此得出结果。

— 保罗·波丁顿
source
64
@PaulDraper 或“与非”门
— slebetman 2015年
25
花了4100个NOR门将两个人降落在月球上。
— 汉斯·帕桑
4
@HansPassant和一些字符串。很多字符串。（核心绳索记忆，而不是锡罐品种。）
— CVn
3
@HansPassant有时我希望Stack Exchange是Wikipedia，然后在那插入一个[citation-needed]标记。
— 西蒙·佛斯伯格
11
是的，对不起，阿波罗制导计算机。
— 汉斯·帕桑
64

如果可以的话，请花些时间阅读DeMorgan的法律。

您可以在该书的阅读物中找到答案，以及对逻辑证明的参考。

但从本质上讲，答案是肯定的。

编辑：为明确起见，我的观点是可以从AND表达式中逻辑推断出OR表达式，反之亦然。关于逻辑对等和推论，还有更多的定律，但我认为这是最恰当的。

编辑2：这是一个通过真值表的证明，显示了以下表达式的逻辑等价关系。

德摩根定律： !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | ！A | ！B | ！A || ！B | ！（！A ||！B）| A && B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________
— ryuu9187
source
19
有些人必须拒绝投票，这是他们“功能完整”的一部分
— Jesse 2015年
3
在+ 27 / -2，我不会为流浪票感到担心。
— CVn 2015年
2
@MichaelKjörling我只是很好奇为什么有些人认为我的回答没有帮助/有害。
— ryuu9187
3
通常，不太喜欢依赖链接的答案（因为链接消失），但是在这种情况下，对德摩根定律的解释很多，以至于我看不到问题-仍然，这是我的猜测DV
— user2813274 2015年
@ user2813274感谢您的解释。希望我的编辑将有助于弥合个人研究与得到答案之间的鸿沟。
— ryuu9187
11

NAND和NOR是通用的，可用于在任何地方建立所需的任何逻辑运算。其他运算符可通过编程语言获得，以使其易于编写和编写可读代码。

同样，所有需要硬连线到电路中的逻辑运算也都使用NAND或NOR集成电路开发。

— 阿南德
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