如何在Python中进行指数和对数曲线拟合?我发现只有多项式拟合


Answers:


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对于拟合y = A + B log x,只需将y拟合为(log x)。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

用于装配ÿ = Bx的,取两侧的对数使日志Ŷ =登录 + Bx的。因此对x拟合(log y)。

需要注意的是配件(日志Ÿ),就好像它是线性的会强调的较小值Ÿ,造成较大偏差大ÿ。这是因为polyfit(线性回归)的工作原理是最小化Σ (Δ Ý2 =Σ ÿ - Ŷ 2。当ÿ =登录ÿ ,残基Δ ÿ =Δ(日志Ý )≈Δ ÿ / | y |。所以即使polyfit对大y做出非常糟糕的决定,“除以| y | |” 因数将对其进行补偿,从而导致polyfit偏爱较小的值。

可以通过为每个条目赋予与y成正比的“权重”来缓解这种情况。polyfit通过w关键字参数支持加权最小二乘。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意,Excel,LibreOffice和大多数科学计算器通常对指数回归/趋势线使用未加权(有偏)公式。如果您希望您的结果与这些平台兼容,即使提供更好的结果,也不要包括权重。


现在,如果您可以使用scipy,则可以使用它scipy.optimize.curve_fit来拟合任何模型而无需进行转换。

对于y = A + B log x,结果与转换方法相同:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

但是,对于y = Ae Bx,因为它可以直接计算Δ(log y),所以我们可以获得更好的拟合度。但是我们需要提供一个初始猜测,以便curve_fit可以达到所需的局部最小值。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

指数回归比较


2
@Tomas:对。更改对数的底数只是将常数乘以对数x或对数y,不会影响r ^ 2。
kennytm 2010年

4
这将赋予较小y处更大的权重。因此,最好由y_i加权对卡方值的贡献
Rupert Nash 2010年

17
在传统的曲线拟合意义上,此解决方案是错误的。它不会最小化线性空间中残差的求和平方,而是在对数空间中。如前所述,这有效地改变了点的权重- y较小的观测值将人为地超重。最好定义函数(线性而不是对数变换),并使用曲线拟合器或最小化器。
桑顿,

3
@santon解决了指数回归中的偏差。
kennytm

2
感谢您增加体重!许多/大多数人不知道,如果尝试仅获取日志(数据)并在其中运行一行(例如Excel),可能会得到可笑的坏结果。就像我已经做了很多年了。当我的贝叶斯老师向我展示此内容时,我就像是“但是他们不是在讲物理课的错误方法吗?” -“是的,我们称之为“婴儿物理学”,这是一种简化。这是正确的做法。”
DeusXMachina

102

您还可以将一组数据拟合到您喜欢使用curve_fitfrom的任何函数scipy.optimize。例如,如果您想拟合指数函数(来自文档):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

然后,如果要绘制,则可以执行以下操作:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(注:*在前面popt,当你将绘制出扩大的条款进入abc那个func。期待)


2
真好 有没有一种方法可以检查我们的拟合度?R平方值?您是否可以尝试使用不同的优化算法参数以获得更好(或更快速)的解决方案?
user391339

为了使拟合更好,您可以将拟合的优化参数放入scipy优化函数chisquare中。它返回2个值,其中第2个是p值。

关于如何选择参数的任何想法abc
I_told_you_so

47

我对此有些麻烦,所以请让我非常明确,让像我这样的菜鸟可以理解。

假设我们有一个数据文件或类似的文件

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果是:a = 0.849195983017,b = -1.18101681765,c = 2.24061176543,d = 0.816643894816

原始数据和拟合函数


8
y = [np.exp(i) for i in x]很慢 创建numpy的原因之一是可以写y=np.exp(x)。另外,通过这种替换,您可以摆脱残酷的武力。在ipython中,%timeit神奇的是 In [27]: %timeit ylist=[exp(i) for i in x] 10000 loops, best of 3: 172 us per loop In [28]: %timeit yarr=exp(x) 100000 loops, best of 3: 2.85 us per loop
esmit 2014年

1
谢谢您,埃斯米特,您是对的,但是在处理来自csv,xls或其他使用此算法的格式的数据时,仍然需要使用残酷的部分。我认为只有在有人尝试根据实验或仿真数据拟合函数时,才有意义使用该数据,而根据我的经验,这些数据总是采用奇怪的格式。
Leandro 2014年

3
x = np.array(x, dtype=float)应该使您摆脱慢速列表理解。
2014年

8

好吧,我想您可以随时使用:

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

稍微修改IanVS的答案

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

结果如下图:

在此处输入图片说明


是否有适合拟合的饱和度值?如果是这样,如何进行访问呢?

7

这是使用scikit learning中的工具的简单数据的线性化选项。

给定

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys
transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

拟合指数数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

在此处输入图片说明

适合日志数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

在此处输入图片说明


细节

一般步骤

  1. 应用日志操作数据值(xy或两者)
  2. 将数据回归到线性模型
  3. 通过“反转”任何日志操作(使用np.exp())进行绘制并适合原始数据

假设我们的数据遵循指数趋势,则一般方程+可能为:

在此处输入图片说明

我们可以通过取log线性化后一个方程(例如y =截距+斜率* x):

在此处输入图片说明

给定一个线性方程式++和回归参数,我们可以计算:

  • A通过拦截(ln(A)
  • B通过坡度(B

线性化技术摘要

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

+注意:当噪声较小且C = 0时,线性化指数函数的效果最佳。请谨慎使用。

++注:更改x数据有助于线性化指数数据,而更改y数据有助于线性化日志数据。


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我们展示了lmfit同时解决这两个问题的功能。

给定

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

方法1- lmfit模型

拟合指数数据

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

在此处输入图片说明

方法2-自定义模型

适合日志数据

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

在此处输入图片说明


细节

  1. 选择回归类别
  2. 提供尊重功能域的命名,初步猜测

您可以从回归对象确定推断的参数。例:

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

注意:ExponentialModel()以下是衰减函数,该函数接受两个参数,其中一个为负数。

在此处输入图片说明

另请参见ExponentialGaussianModel(),它接受更多参数

通过安装> pip install lmfit


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Wolfram具有用于拟合指数的封闭形式的解决方案。他们也有类似的解决方案来拟合对数幂律

我发现这比scipy的curve_fit更好。这是一个例子:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()

在此处输入图片说明

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