Python / NumPy中的meshgrid的用途是什么？

有人可以向我解释meshgridNumpy 中功能的目的是什么？我知道它会为绘图创建某种坐标网格，但是我真的看不到它的直接好处。

我正在研究Sebastian Raschka的“ Python机器学习”，他正在使用它来绘制决策边界。请参阅此处的输入11 。

我也从官方文档中尝试过此代码，但是再次，输出对我来说真的没有意义。

x = np.arange(-5, 5, 1)
y = np.arange(-5, 5, 1)
xx, yy = np.meshgrid(x, y, sparse=True)
z = np.sin(xx**2 + yy**2) / (xx**2 + yy**2)
h = plt.contourf(x,y,z)

请，如果可能的话，还请给我展示很多真实的例子。

目的meshgrid是根据x值数组和y值数组创建矩形网格。

因此，例如，如果我们要创建一个网格，在x和y方向上每个介于0和4之间的整数值处都有一个点。要创建矩形网格，我们需要x和y点的每个组合。

这将是25分，对吧？因此，如果我们想为所有这些点创建一个x和y数组，则可以执行以下操作。

x[0,0] = 0    y[0,0] = 0
x[0,1] = 1    y[0,1] = 0
x[0,2] = 2    y[0,2] = 0
x[0,3] = 3    y[0,3] = 0
x[0,4] = 4    y[0,4] = 0
x[1,0] = 0    y[1,0] = 1
x[1,1] = 1    y[1,1] = 1
...
x[4,3] = 3    y[4,3] = 4
x[4,4] = 4    y[4,4] = 4

这将导致以下x和y矩阵，使得每个矩阵中对应元素的配对给出网格中一个点的x和y坐标。

x =   0 1 2 3 4        y =   0 0 0 0 0
      0 1 2 3 4              1 1 1 1 1
      0 1 2 3 4              2 2 2 2 2
      0 1 2 3 4              3 3 3 3 3
      0 1 2 3 4              4 4 4 4 4

然后，我们可以绘制这些图形以验证它们是否为网格：

plt.plot(x,y, marker='.', color='k', linestyle='none')

显然，这特别繁琐，尤其对于x和的范围y。相反，meshgrid实际上可以为我们生成此代码：我们只需指定唯一值x和y值即可。

xvalues = np.array([0, 1, 2, 3, 4]);
yvalues = np.array([0, 1, 2, 3, 4]);

现在，当我们调用时meshgrid，我们将自动获得先前的输出。

xx, yy = np.meshgrid(xvalues, yvalues)

plt.plot(xx, yy, marker='.', color='k', linestyle='none')

这些矩形网格的创建对于许多任务很有用。在您的帖子中提供的示例中，这只是一种sin(x**2 + y**2) / (x**2 + y**2)在x和的值范围内对函数（）进行采样的方法y。

由于此函数已在矩形网格上采样，因此现在可以将其可视化为“图像”。

此外，现在可以将结果传递给期望在矩形网格上获得数据的函数（例如contourf）

由Microsoft Excel提供： 

实际上np.meshgrid，文档中已经提到的目的：

np.meshgrid

从坐标向量返回坐标矩阵。

给定一维坐标数组x1，x2，...，xn，制作ND坐标数组以对ND网格上的ND标量/矢量场进行矢量化评估。

因此，其主要目的是创建坐标矩阵。

您可能只是问自己：

为什么我们需要创建坐标矩阵？

使用Python / NumPy需要坐标矩阵的原因是，从坐标到值没有直接关系，除非坐标从零开始并且是纯正整数。然后，您可以只使用数组的索引作为索引。但是，如果不是这种情况，则您需要以某种方式将坐标存储在数据旁边。那就是网格进来的地方。

假设您的数据是：

1  2  1
2  5  2
1  2  1

但是，每个值代表一个水平2公里，垂直3公里的区域。假设您的原点是左上角，并且您想要一个表示可以使用的距离的数组：

import numpy as np
h, v = np.meshgrid(np.arange(3)*3, np.arange(3)*2)

其中v是：

array([[0, 0, 0],
       [2, 2, 2],
       [4, 4, 4]])

和h：

array([[0, 3, 6],
       [0, 3, 6],
       [0, 3, 6]])

所以，如果你有两个指标，比方说x与y（这就是为什么的返回值meshgrid通常是xx或xs，而不是x在这种情况下，我选择h了水平！），那么你可以得到该点的x坐标，在Y点和坐标通过使用以下方法在那时的价值：

h[x, y]    # horizontal coordinate
v[x, y]    # vertical coordinate
data[x, y]  # value

这样可以更轻松地跟踪坐标和（更重要的是）您可以将其传递给需要知道坐标的函数。

稍长的解释

但是，np.meshgrid本身并不经常直接使用，大多数人只是使用类似对象np.mgrid或中的一种np.ogrid。这里np.mgrid代表sparse=False和np.ogrid的sparse=True情况（我指的是的sparse参数np.meshgrid）。请注意，np.meshgrid和np.ogrid和之间有显着差异 np.mgrid：返回的前两个值（如果有两个或多个）将颠倒。通常这无关紧要，但是您应该根据上下文提供有意义的变量名称。

例如，在2D网格的情况下，matplotlib.pyplot.imshow命名第一个返回的项np.meshgrid x和第二个返回项是有意义的，y而对于np.mgrid和则相反np.ogrid。

np.ogrid 和稀疏的网格

>>> import numpy as np
>>> yy, xx = np.ogrid[-5:6, -5:6]
>>> xx
array([[-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5]])
>>> yy
array([[-5],
       [-4],
       [-3],
       [-2],
       [-1],
       [ 0],
       [ 1],
       [ 2],
       [ 3],
       [ 4],
       [ 5]])

正如已经说过的，与相比np.meshgrid，输出是相反的，这就是为什么我解压缩yy, xx而不是xx, yy：

>>> xx, yy = np.meshgrid(np.arange(-5, 6), np.arange(-5, 6), sparse=True)
>>> xx
array([[-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5]])
>>> yy
array([[-5],
       [-4],
       [-3],
       [-2],
       [-1],
       [ 0],
       [ 1],
       [ 2],
       [ 3],
       [ 4],
       [ 5]])

这已经看起来像座标，特别是2D图的x和y线。

可视化：

yy, xx = np.ogrid[-5:6, -5:6]
plt.figure()
plt.title('ogrid (sparse meshgrid)')
plt.grid()
plt.xticks(xx.ravel())
plt.yticks(yy.ravel())
plt.scatter(xx, np.zeros_like(xx), color="blue", marker="*")
plt.scatter(np.zeros_like(yy), yy, color="red", marker="x")

np.mgrid 和密集/充实的网格

>>> yy, xx = np.mgrid[-5:6, -5:6]
>>> xx
array([[-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5]])
>>> yy
array([[-5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5],
       [-4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4],
       [-3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3],
       [-2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2],
       [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1],
       [ 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0],
       [ 1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1],
       [ 2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2],
       [ 3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3],
       [ 4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4],
       [ 5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5]])

此处同样适用：与相比，输出反转np.meshgrid：

>>> xx, yy = np.meshgrid(np.arange(-5, 6), np.arange(-5, 6))
>>> xx
array([[-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5],
       [-5, -4, -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  4,  5]])
>>> yy
array([[-5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5],
       [-4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4],
       [-3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3],
       [-2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2],
       [-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1],
       [ 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0],
       [ 1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1,  1],
       [ 2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  2],
       [ 3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3],
       [ 4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4,  4],
       [ 5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5,  5]])

与ogrid这些数组不同的是，它们在-5 <= xx <= 5中包含所有 xx和yy坐标；-5 <= yy <= 5格。

yy, xx = np.mgrid[-5:6, -5:6]
plt.figure()
plt.title('mgrid (dense meshgrid)')
plt.grid()
plt.xticks(xx[0])
plt.yticks(yy[:, 0])
plt.scatter(xx, yy, color="red", marker="x")

功能性

它不仅限于二维，而且这些函数适用于任意尺寸（嗯，Python中为函数提供了最大数量的参数，而NumPy允许最大数量的尺寸）：

>>> x1, x2, x3, x4 = np.ogrid[:3, 1:4, 2:5, 3:6]
>>> for i, x in enumerate([x1, x2, x3, x4]):
...     print('x{}'.format(i+1))
...     print(repr(x))
x1
array([[[[0]]],


       [[[1]]],


       [[[2]]]])
x2
array([[[[1]],

        [[2]],

        [[3]]]])
x3
array([[[[2],
         [3],
         [4]]]])
x4
array([[[[3, 4, 5]]]])

>>> # equivalent meshgrid output, note how the first two arguments are reversed and the unpacking
>>> x2, x1, x3, x4 = np.meshgrid(np.arange(1,4), np.arange(3), np.arange(2, 5), np.arange(3, 6), sparse=True)
>>> for i, x in enumerate([x1, x2, x3, x4]):
...     print('x{}'.format(i+1))
...     print(repr(x))
# Identical output so it's omitted here.

即使这些也适用于一维，也有两个（更为常见的）一维网格创建功能：

• np.arange
• np.linspace

除了startand stop参数外，它还支持step参数（即使是代表步骤数的复杂步骤）：

>>> x1, x2 = np.mgrid[1:10:2, 1:10:4j]
>>> x1  # The dimension with the explicit step width of 2
array([[1., 1., 1., 1.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [5., 5., 5., 5.],
       [7., 7., 7., 7.],
       [9., 9., 9., 9.]])
>>> x2  # The dimension with the "number of steps"
array([[ 1.,  4.,  7., 10.],
       [ 1.,  4.,  7., 10.],
       [ 1.,  4.,  7., 10.],
       [ 1.,  4.,  7., 10.],
       [ 1.,  4.,  7., 10.]])

应用领域

您专门询问了目的，实际上，如果需要坐标系，这些网格非常有用。

例如，如果您有一个NumPy函数，它可以在两个维度上计算距离：

def distance_2d(x_point, y_point, x, y):
    return np.hypot(x-x_point, y-y_point)

您想知道每个点的距离：

>>> ys, xs = np.ogrid[-5:5, -5:5]
>>> distances = distance_2d(1, 2, xs, ys)  # distance to point (1, 2)
>>> distances
array([[9.21954446, 8.60232527, 8.06225775, 7.61577311, 7.28010989,
        7.07106781, 7.        , 7.07106781, 7.28010989, 7.61577311],
       [8.48528137, 7.81024968, 7.21110255, 6.70820393, 6.32455532,
        6.08276253, 6.        , 6.08276253, 6.32455532, 6.70820393],
       [7.81024968, 7.07106781, 6.40312424, 5.83095189, 5.38516481,
        5.09901951, 5.        , 5.09901951, 5.38516481, 5.83095189],
       [7.21110255, 6.40312424, 5.65685425, 5.        , 4.47213595,
        4.12310563, 4.        , 4.12310563, 4.47213595, 5.        ],
       [6.70820393, 5.83095189, 5.        , 4.24264069, 3.60555128,
        3.16227766, 3.        , 3.16227766, 3.60555128, 4.24264069],
       [6.32455532, 5.38516481, 4.47213595, 3.60555128, 2.82842712,
        2.23606798, 2.        , 2.23606798, 2.82842712, 3.60555128],
       [6.08276253, 5.09901951, 4.12310563, 3.16227766, 2.23606798,
        1.41421356, 1.        , 1.41421356, 2.23606798, 3.16227766],
       [6.        , 5.        , 4.        , 3.        , 2.        ,
        1.        , 0.        , 1.        , 2.        , 3.        ],
       [6.08276253, 5.09901951, 4.12310563, 3.16227766, 2.23606798,
        1.41421356, 1.        , 1.41421356, 2.23606798, 3.16227766],
       [6.32455532, 5.38516481, 4.47213595, 3.60555128, 2.82842712,
        2.23606798, 2.        , 2.23606798, 2.82842712, 3.60555128]])

如果通过密集网格而不是开放网格，则输出将是相同的。NumPys广播使之成为可能！

让我们可视化结果：

plt.figure()
plt.title('distance to point (1, 2)')
plt.imshow(distances, origin='lower', interpolation="none")
plt.xticks(np.arange(xs.shape[1]), xs.ravel())  # need to set the ticks manually
plt.yticks(np.arange(ys.shape[0]), ys.ravel())
plt.colorbar()

这也是当NumPys mgrid和ogrid变得非常方便，因为它可以让你轻松更改网格的分辨率：

ys, xs = np.ogrid[-5:5:200j, -5:5:200j]
# otherwise same code as above

但是，由于imshow不支持x和y输入，因此必须手动更改报价。如果接受x和，这将非常方便。y坐标，对吗？

使用NumPy编写自然处理网格的函数很容易。此外，NumPy，SciPy，matplotlib中有几个函数希望您传递到网格中。

我喜欢图片，因此让我们来探索一下matplotlib.pyplot.contour：

ys, xs = np.mgrid[-5:5:200j, -5:5:200j]
density = np.sin(ys)-np.cos(xs)
plt.figure()
plt.contour(xs, ys, density)

注意如何正确设置坐标！如果您只是传入，则不会是这种情况density。

或举另一个使用天体模型的有趣示例（这次我不太在乎坐标，我只是使用它们来创建一些网格）：

from astropy.modeling import models
z = np.zeros((100, 100))
y, x = np.mgrid[0:100, 0:100]
for _ in range(10):
    g2d = models.Gaussian2D(amplitude=100, 
                           x_mean=np.random.randint(0, 100), 
                           y_mean=np.random.randint(0, 100), 
                           x_stddev=3, 
                           y_stddev=3)
    z += g2d(x, y)
    a2d = models.AiryDisk2D(amplitude=70, 
                            x_0=np.random.randint(0, 100), 
                            y_0=np.random.randint(0, 100), 
                            radius=5)
    z += a2d(x, y)

尽管那只是为了“外观”，但与Scipy中的功能模型和拟合（例如scipy.interpolate.interp2d， scipy.interpolate.griddata甚至显示示例使用np.mgrid）相关的一些功能仍需要网格。其中大多数都适用于开放式网格和密集型网格，但是有些仅适用于其中之一。

假设您有一个功能：

def sinus2d(x, y):
    return np.sin(x) + np.sin(y)

例如，您想要查看0到2 * pi范围内的图像。你会怎么做？有np.meshgrid来自于：

xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(0,2*np.pi,100), np.linspace(0,2*np.pi,100))
z = sinus2d(xx, yy) # Create the image on this grid

这样的情节看起来像：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(z, origin='lower', interpolation='none')
plt.show()

所以np.meshgrid只是一个方便。原则上，可以通过以下方式完成此操作：

z2 = sinus2d(np.linspace(0,2*np.pi,100)[:,None], np.linspace(0,2*np.pi,100)[None,:])

但是您需要了解自己的尺寸（假设您有两个以上...）和正确的广播。np.meshgrid为您完成所有这一切。

此外，例如，如果您想进行插值但排除某些值，则meshgrid允许您将坐标与数据一起删除：

condition = z>0.6
z_new = z[condition] # This will make your array 1D

那么您现在将如何进行插值？你可以给x和y一个插值函数，scipy.interpolate.interp2d因此您需要一种方法来知道删除了哪些坐标：

x_new = xx[condition]
y_new = yy[condition]

然后您仍然可以使用“正确的”坐标进行插值（在没有网状网格的情况下进行尝试，您将获得很多额外的代码）：

from scipy.interpolate import interp2d
interpolated = interp2d(x_new, y_new, z_new)

并且原始网格物体允许您再次在原始网格物体上获得插值：

interpolated_grid = interpolated(xx[0], yy[:, 0]).reshape(xx.shape)

这些只是我使用过的一些示例，meshgrid可能还会更多。

meshgrid帮助从两个数组的所有成对点的两个一维数组中创建一个矩形网格。

x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
y = np.array([0, 1, 2, 3, 4])

现在，如果您定义了函数f（x，y），并且想将此函数应用于数组'x'和'y'的所有可能的点组合，则可以执行以下操作：

f(*np.meshgrid(x, y))

假设，如果您的函数仅产生两个元素的乘积，那么这就是可以有效地为大型数组获得笛卡尔积的方法。

从这里引用

基本思想

给定可能的x值xs（将其视为图的x轴上的刻度线）和可能的y值ys，将meshgrid生成对应的（x，y）网格点集-与类似set((x, y) for x in xs for y in yx)。例如，如果xs=[1,2,3]和ys=[4,5,6]，我们将获得一组坐标{(1,4), (2,4), (3,4), (1,5), (2,5), (3,5), (1,6), (2,6), (3,6)}。

返回值的形式

但是，meshgrid返回的表示形式在两个方面与上述表达式不同：

首先，meshgrid在2d数组中布置网格点：行对应于不同的y值，列对应于不同的x值-如在中list(list((x, y) for x in xs) for y in ys)，将得到以下数组：

   [[(1,4), (2,4), (3,4)],
    [(1,5), (2,5), (3,5)],
    [(1,6), (2,6), (3,6)]]

其次，分别meshgrid返回x和y坐标（即在两个不同的numpy 2d数组中）：

   xcoords, ycoords = (
       array([[1, 2, 3],
              [1, 2, 3],
              [1, 2, 3]]),
       array([[4, 4, 4],
              [5, 5, 5],
              [6, 6, 6]]))
   # same thing using np.meshgrid:
   xcoords, ycoords = np.meshgrid([1,2,3], [4,5,6])
   # same thing without meshgrid:
   xcoords = np.array([xs] * len(ys)
   ycoords = np.array([ys] * len(xs)).T

注意，np.meshgrid也可以生成更大尺寸的网格。给定xs，ys和zs，您将把xcoords，ycoords，zcoords作为3d数组返回。meshgrid还支持维度的反向排序以及结果的稀疏表示。

应用领域

我们为什么要这种形式的输出？

在网格上的每个点上应用一个函数： 一种动机是像（+，-，*，/，**）这样的二进制运算符对于numpy数组作为元素操作进行了重载。这意味着，如果我有一个def f(x, y): return (x - y) ** 2可以在两个标量上使用的函数，那么我也可以将其应用于两个numpy数组以获取按元素排列的结果数组：例如f(xcoords, ycoords)或f(*np.meshgrid(xs, ys))在上面的示例中给出以下内容：

array([[ 9,  4,  1],
       [16,  9,  4],
       [25, 16,  9]])

高维外部产品：我不确定这有多有效，但是您可以通过以下方式获得高维外部产品：np.prod(np.meshgrid([1,2,3], [1,2], [1,2,3,4]), axis=0)。

在matplotlib云图：我遇到meshgrid调查时绘制等高线图与matplotlib用于绘制的决策边界。为此，使用生成一个网格meshgrid，在每个网格点评估函数（例如，如上所示），然后将xcoords，ycoords和计算出的f值（即zcoords）传递给contourf函数。