此Q＆A旨在作为有关使用scipy进行二维（和多维）插值的规范（-ish）。经常有关于各种多维插值方法的基本语法的问题，我希望也将这些问题弄清楚。
我有一组散二维数据点，我想他们绘制作为一个很好的表面，最好使用类似contourf或plot_surface在matplotlib.pyplot。如何使用scipy将二维或多维数据插值到网格？
我已经找到了该scipy.interpolate子软件包，但是在使用interp2dor bisplrep或griddataor 时仍然会出错rbf。这些方法的正确语法是什么？
Answers:
免责声明：我在写这篇文章时主要是出于句法考虑和一般行为。我不熟悉所描述方法的内存和CPU方面，因此，我的答案是针对那些数据量较小的用户，因此，插值的质量可能是要考虑的主要方面。我知道，在处理非常大的数据集时，性能更好的方法（即griddata和Rbf）可能不可行。
我将比较三种多维插值方法（interp2d/ splines griddata和Rbf）。我将对它们执行两种插值任务和两种基础功能（要从中插值的点）。具体示例将演示二维插值，但可行的方法适用于任意尺寸。每种方法都提供各种插值；在所有情况下，我都会使用三次插值（或接近1的东西）。重要的是要注意，每当使用插值时，都会引入与原始数据相比的偏差，并且所使用的特定方法会影响最终的工件。始终意识到这一点，并负责任地插值。
两个插值任务将是
这两个函数（在上[x,y] in [-1,1]x[-1,1]）将是
cos(pi*x)*sin(pi*y); 范围[-1, 1]x*y/(x^2+y^2)在原点附近具有0.5的值；范围[-0.5, 0.5]它们的外观如下：
我将首先演示这三个方法在这四个测试下的行为，然后详细介绍这三个方法的语法。如果您知道对某个方法应该有什么期望，那么您可能不想浪费时间学习其语法（看着您interp2d）。
为了清楚起见，这是我用来生成输入数据的代码。虽然在这种特定情况下，我显然知道数据的基础功能，但我只会使用它为插值方法生成输入。为了方便起见，我使用了numpy（并且主要是用于生成数据），但仅scipy也足够。
import numpy as np
import scipy.interpolate as interp
# auxiliary function for mesh generation
def gimme_mesh(n):
minval = -1
maxval = 1
# produce an asymmetric shape in order to catch issues with transpositions
return np.meshgrid(np.linspace(minval,maxval,n), np.linspace(minval,maxval,n+1))
# set up underlying test functions, vectorized
def fun_smooth(x, y):
return np.cos(np.pi*x)*np.sin(np.pi*y)
def fun_evil(x, y):
# watch out for singular origin; function has no unique limit there
return np.where(x**2+y**2>1e-10, x*y/(x**2+y**2), 0.5)
# sparse input mesh, 6x7 in shape
N_sparse = 6
x_sparse,y_sparse = gimme_mesh(N_sparse)
z_sparse_smooth = fun_smooth(x_sparse, y_sparse)
z_sparse_evil = fun_evil(x_sparse, y_sparse)
# scattered input points, 10^2 altogether (shape (100,))
N_scattered = 10
x_scattered,y_scattered = np.random.rand(2,N_scattered**2)*2 - 1
z_scattered_smooth = fun_smooth(x_scattered, y_scattered)
z_scattered_evil = fun_evil(x_scattered, y_scattered)
# dense output mesh, 20x21 in shape
N_dense = 20
x_dense,y_dense = gimme_mesh(N_dense)
让我们从最简单的任务开始。这是从形状网格[6,7]到其中之一的向上采样如何[20,21]实现平滑测试功能的方法：
尽管这是一项简单的任务，但输出之间已经存在细微的差异。乍一看，这三个输出都是合理的。根据我们对基础功能的先验知识，有两个功能需要注意：中间情况griddata会使数据失真最大。注意图的y==-1边界（最靠近x标签）：该函数应严格为零（因为y==-1该平滑函数是节点线），但是并非如此griddata。还要注意图的x==-1边界（在左边，在后面）：基础函数在处具有局部最大值（隐含边界附近的零梯度）[-1, -0.5]，但griddata输出在该区域中明显显示出非零梯度。效果是微妙的，但仍然存在偏见。（保真度Rbf如果使用默认的径向函数，则更好multiquadratic。
更加艰巨的任务是对我们邪恶的函数执行升采样：
三种方法之间开始出现明显的差异。查看表面图，从的输出中会出现明显的虚假极值interp2d（请注意所绘制表面的右侧的两个驼峰）。虽然griddata并Rbf似乎产生乍看类似的结果，后者似乎产生更深的最低附近[0.4, -0.4]也就是从底层功能缺失。
但是，有一个至关重要的方面Rbf要优越得多：它尊重基础函数的对称性（当然，这也可以通过样本网格的对称性来实现）。的输出griddata破坏了采样点的对称性，在对称情况下，该对称性已经微弱可见。
最常见的是要对分散的数据执行插值。因此，我希望这些测试更加重要。如上所示，在感兴趣的域中伪均匀地选择了采样点。在实际情况下，每次测量都可能会产生额外的噪声，因此您应该考虑对原始数据进行插值是否有意义。
平滑功能的输出：
现在已经有一些恐怖表演在继续。为了保留至少最少的信息，我将输出从剪辑interp2d到两者之间，[-1, 1]专门用于绘图。显然，虽然存在一些潜在的形状，但是在巨大的嘈杂区域中，该方法完全失效了。第二种情况griddata很好地再现了形状，但请注意轮廓图边界处的白色区域。这是由于这样的事实，它griddata仅在输入数据点的凸包内部有效（换句话说，它不执行任何外推）。我保留了凸包外部的输出点的默认NaN值。2考虑到这些功能，Rbf似乎表现最佳。
我们一直在等待的时刻：
interp2d放弃并不奇怪。实际上，在致电期间，interp2d您应该期望一些友善RuntimeWarning的人抱怨无法构造样条线。至于其他两种方法，Rbf即使在推断结果的域边界附近，似乎也能产生最佳输出。
因此，让我以优先顺序从高到低的顺序对这三种方法说几句话（这样一来，最坏的情况就是每个人阅读的可能性最小）。
scipy.interpolate.Rbf该Rbf级代表“径向基函数”。老实说，直到开始研究这篇文章之前，我从未考虑过这种方法，但是我敢肯定，将来我会使用这些方法。
就像基于样条的方法（请参阅后面）一样，用法分为两个步骤：首先Rbf根据输入数据创建一个可调用的类实例，然后为给定的输出网格调用此对象以获得插值结果。平滑升采样测试的示例：
import scipy.interpolate as interp
zfun_smooth_rbf = interp.Rbf(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, function='cubic', smooth=0) # default smooth=0 for interpolation
z_dense_smooth_rbf = zfun_smooth_rbf(x_dense, y_dense) # not really a function, but a callable class instance
请注意，在这种情况下，输入点和输出点均为2d数组，并且输出z_dense_smooth_rbf具有相同的形状，x_dense而y_dense无需付出任何努力。另请注意，它Rbf支持插值的任意尺寸。
所以， scipy.interpolate.Rbf
function：multiquadric，inverse，gaussian，linear，cubic，quintic，thin_plate和用户自定义的任意scipy.interpolate.griddata我以前最喜欢的，griddata是用于任意尺寸插值的通用工具。除了为节点点的凸包之外的点设置单个预设值外，它不会执行外推，但是由于外推是非常易变且危险的事情，因此不一定是不利条件。用法示例：
z_dense_smooth_griddata = interp.griddata(np.array([x_sparse.ravel(),y_sparse.ravel()]).T,
z_sparse_smooth.ravel(),
(x_dense,y_dense), method='cubic') # default method is linear
请注意略显晦涩的语法。输入点具有在形状上的阵列，以指定[N, D]在D尺寸。为此，我们首先必须展平2D坐标数组（使用ravel），然后将数组连接起来并转置结果。有多种方法可以执行此操作，但是它们似乎都很庞大。输入z数据也必须展平。关于输出点，我们有更多的自由度：由于某些原因，它们也可以指定为多维数组的元组。请注意，helpof griddata具误导性，因为这表明输入点也是如此（至少对于版本0.17.0）：
griddata(points, values, xi, method='linear', fill_value=nan, rescale=False)
Interpolate unstructured D-dimensional data.
Parameters
----------
points : ndarray of floats, shape (n, D)
Data point coordinates. Can either be an array of
shape (n, D), or a tuple of `ndim` arrays.
values : ndarray of float or complex, shape (n,)
Data values.
xi : ndarray of float, shape (M, D)
Points at which to interpolate data.
简而言之， scipy.interpolate.griddata
fill_value）NearestNDInterpolator和LinearNDInterpolator引擎盖下，分别。一维三次插值使用样条曲线，二维三次插值用于CloughTocher2DInterpolator构造连续可微分分段三次插值器。scipy.interpolate.interp2d/scipy.interpolate.bisplrep我正在interp2d与其亲戚讨论的唯一原因是它的名称具有欺骗性，人们可能会尝试使用它。剧透警告：请勿使用（自scipy版本0.17.0起）。它已经比以前的主题更特别了，因为它专门用于二维插值，但是我怀疑这是迄今为止多元插值最常见的情况。
就语法而言，interp2d这类似于Rbf它首先需要构造一个插值实例，可以调用该插值实例以提供实际的插值。但是有一个问题：输出点必须位于矩形网格上，因此输入到内插器的输入的输入必须是跨输出网格的一维向量，就像来自numpy.meshgrid：
# reminder: x_sparse and y_sparse are of shape [6, 7] from numpy.meshgrid
zfun_smooth_interp2d = interp.interp2d(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, kind='cubic') # default kind is 'linear'
# reminder: x_dense and y_dense are of shape [20, 21] from numpy.meshgrid
xvec = x_dense[0,:] # 1d array of unique x values, 20 elements
yvec = y_dense[:,0] # 1d array of unique y values, 21 elements
z_dense_smooth_interp2d = zfun_smooth_interp2d(xvec,yvec) # output is [20, 21]-shaped array
使用时最常见的错误之一interp2d是将完整的2d网格放入插值调用中，这会导致大量的内存消耗，并希望仓促行事MemoryError。
现在，最大的问题interp2d是它通常不起作用。为了理解这一点，我们必须深入研究。事实证明，这interp2d是较低级函数bisplrep+的bisplev包装，而后者又是FITPACK例程（用Fortran编写）的包装。对上一个示例的等效调用为
kind = 'cubic'
if kind=='linear':
kx=ky=1
elif kind=='cubic':
kx=ky=3
elif kind=='quintic':
kx=ky=5
# bisplrep constructs a spline representation, bisplev evaluates the spline at given points
bisp_smooth = interp.bisplrep(x_sparse.ravel(),y_sparse.ravel(),z_sparse_smooth.ravel(),kx=kx,ky=ky,s=0)
z_dense_smooth_bisplrep = interp.bisplev(xvec,yvec,bisp_smooth).T # note the transpose
现在，这里的事儿interp2d：（在SciPy的版本0.17.0或更新版本）有一个很好的注释interpolate/interpolate.py为interp2d：
if not rectangular_grid:
# TODO: surfit is really not meant for interpolation!
self.tck = fitpack.bisplrep(x, y, z, kx=kx, ky=ky, s=0.0)
确实在中interpolate/fitpack.py，bisplrep有一些设置，最终
tx, ty, c, o = _fitpack._surfit(x, y, z, w, xb, xe, yb, ye, kx, ky,
task, s, eps, tx, ty, nxest, nyest,
wrk, lwrk1, lwrk2)
就是这样。底层的例程interp2d并不是真正要执行插值。它们可能足以满足足够良好的数据需求，但是在实际情况下，您可能需要使用其他内容。
总结一下， interpolate.interp2d
interpn在网格上定义的输入点有限）1我相当确定，的基函数cubic和linear种类Rbf不完全对应于同名的其他插值器。
2这些NaN也是表面图看起来如此奇怪的原因：从历史上看，matplotlib难以绘制具有适当深度信息的复杂3d对象。数据中的NaN值会混淆渲染器，因此应将应在背面的表面部分绘制在正面。这是可视化的问题，而不是插值。