我们知道，背包问题可以通过动态编程以O（nW）复杂度解决。但是我们说这是一个NP完全问题。我觉得在这里很难理解。
（n是项目数。W是最大音量。）
Answers:
O(n*W)看起来像多项式时间，但不是，它是伪多项式。
时间复杂度衡量算法所花费的时间与输入长度的函数关系。动态编程解决方案的值W确实是线性的，但长度的W却是指数级的-这才是重要的！
更准确地说，背包问题的动态解决方案的时间复杂度基本上由嵌套循环给出：
// here goes other stuff we don't care about
for (i = 1 to n)
for (j = 0 to W)
// here goes other stuff
因此，时间复杂度很明显O(n*W)。
线性增加算法输入的大小是什么意思？这意味着使用越来越长的项目阵列（所以n，n+1，n+2，...），并逐渐变长W（所以，如果W是x位长，一步之后，我们使用x+1位，则x+2位，...）。但值的W与呈指数增长x，因此算法不是真正的多项式，它的指数（但看起来它是多项式，因此被命名为“伪多项式”）。
W和n此处表示循环迭代的次数。 您可以使用任何所需的方式对其进行编码，并且该循环仍将迭代n * W多次。我相信这个“伪多项式”的原因n是因为实际输入大小，并且W比实际输入大小大得多，n因此不能公平地将其视为常量。
for从1到的循环n（n输入在哪里）；在这种情况下，当循环执行10 ^ 12次迭代时，输入的大小仍约为40位。迭代数量的增长速度快于对输入进行编码的位数。时间复杂度不是线性的。2）再次，考虑一个for循环，一个多输入阵列（与大小迭代n从）1到n; 如果您有10 ^ 12次迭代，则意味着您的数组包含10 ^ 12个项目。迭代数量以与输入大小相同的速度增长。时间补全 是线性的。
在背包0/1问题中，我们需要2个输入（1个数组和1个整数）来解决此问题：
假设n = 10且W = 8：
所以时间复杂度T（n）= O（nW）= O（10 * 8）= O（80）
如果将n的大小加倍：
n = [n1，n2，n3，...，n10 ]-> n = [n1，n2，n3，...，n20 ]
所以时间复杂度T（n）= O（nW）= O（20 * 8）= O（160）
但是当您将W的大小增加一倍时，这并不意味着W = 16，但是长度将增加一倍：
W = 1000-> W = 10000000以二进制形式表示（8位长）
所以T（n）= O（nW）= O（10 * 128）= O（1280）
所需时间以指数形式增加，所以这是一个NPC问题。
这完全取决于您放入的参数O(...)。
如前所述W，如果目标重量受数量限制，那么问题就变得很O(n*W)复杂。
但是，如果权重太大，并且您需要的算法的复杂度与无关W，则问题是NP完全的。（O(2^n*n)在大多数幼稚的实现中）。
输入的大小是log(W)权重的位（以及O(n)“值”和“权重”数组的位）。
因此，权重的输入大小为j = log(W)（而不仅仅是W）。因此，W = 2ʲ（使用二进制）。
最终的复杂度是 O(n * W)
这
O(n * W)可以被改写为O(n * 2ʲ)，该指数在输入的大小。
因此，该解决方案不是多项式。