用于测试点是否在圆内的方程式

如果您有一个具有中心(center_x, center_y)和半径的圆radius，如何测试给定的坐标点(x, y)是否在圆内？

在一般情况下，x并y必须满足(x - center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2。

请注意，满足上述方程的点<换成了==被认为是点上的圆圈，并满足上述方程的点<换成了>被认为是外面的圆圈。

数学上，毕达哥拉斯可能是许多人已经提到的简单方法。

(x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2

计算上，有更快的方法。限定：

dx = abs(x-center_x)
dy = abs(y-center_y)
R = radius

如果某个点更可能在该圆之外，则可以想象一个围绕它绘制的正方形，使得其边与该圆相切：

if dx>R then 
    return false.
if dy>R then 
    return false.

现在想象一下在此圆内绘制的正方形菱形，使其顶点触及该圆：

if dx + dy <= R then 
    return true.

现在，我们已经覆盖了我们的大部分空间，并且这个圆的一小部分仅保留在我们要测试的正方形和钻石之间。在这里，我们如上所述恢复到毕达哥拉斯。

if dx^2 + dy^2 <= R^2 then 
    return true
else 
    return false.

如果某个点更可能在该圆内，则颠倒前3步的顺序：

if dx + dy <= R then 
    return true.
if dx > R then 
    return false.
if dy > R 
    then return false.
if dx^2 + dy^2 <= R^2 then 
    return true
else
    return false.

另一种方法是想象在该圆内的正方形而不是菱形，但这需要进行更多的测试和计算，而没有计算优势（内部正方形和菱形具有相同的面积）：

k = R/sqrt(2)
if dx <= k and dy <= k then 
    return true.

更新：

对于那些对性能感兴趣的人，我在c中实现了此方法，并使用-O3进行了编译。

我获得了执行时间 time ./a.out

我实现了此方法，常规方法和虚拟方法来确定计时开销。

Normal: 21.3s This: 19.1s Overhead: 16.5s

因此，似乎此方法在此实现中效率更高。

// compile gcc -O3 <filename>.c
// run: time ./a.out

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define TRUE  (0==0)
#define FALSE (0==1)

#define ABS(x) (((x)<0)?(0-(x)):(x))

int xo, yo, R;

int inline inCircle( int x, int y ){  // 19.1, 19.1, 19.1
  int dx = ABS(x-xo);
  if (    dx >  R ) return FALSE;
  int dy = ABS(y-yo);
  if (    dy >  R ) return FALSE;
  if ( dx+dy <= R ) return TRUE;
  return ( dx*dx + dy*dy <= R*R );
}

int inline inCircleN( int x, int y ){  // 21.3, 21.1, 21.5
  int dx = ABS(x-xo);
  int dy = ABS(y-yo);
  return ( dx*dx + dy*dy <= R*R );
}

int inline dummy( int x, int y ){  // 16.6, 16.5, 16.4
  int dx = ABS(x-xo);
  int dy = ABS(y-yo);
  return FALSE;
}

#define N 1000000000

int main(){
  int x, y;
  xo = rand()%1000; yo = rand()%1000; R = 1;
  int n = 0;
  int c;
  for (c=0; c<N; c++){
    x = rand()%1000; y = rand()%1000;
//    if ( inCircle(x,y)  ){
    if ( inCircleN(x,y) ){
//    if ( dummy(x,y) ){
      n++;
    }
  }
  printf( "%d of %d inside circle\n", n, N);
}

您可以使用毕达哥拉斯（Pythagoras）测量点到中心的距离，并查看其是否小于半径：

def in_circle(center_x, center_y, radius, x, y):
    dist = math.sqrt((center_x - x) ** 2 + (center_y - y) ** 2)
    return dist <= radius

编辑（给保罗的提示）

在实践中，平方通常比起平方根便宜得多，并且由于我们仅对订购感兴趣，因此我们当然可以放弃以平方根：

def in_circle(center_x, center_y, radius, x, y):
    square_dist = (center_x - x) ** 2 + (center_y - y) ** 2
    return square_dist <= radius ** 2

此外，Jason指出，<=应<根据实际情况将其替换为，这取决于实际用法即使我相信严格的数学意义上的说法也不对。我站得住了。

boolean isInRectangle(double centerX, double centerY, double radius, 
    double x, double y)
{
        return x >= centerX - radius && x <= centerX + radius && 
            y >= centerY - radius && y <= centerY + radius;
}    

//test if coordinate (x, y) is within a radius from coordinate (center_x, center_y)
public boolean isPointInCircle(double centerX, double centerY, 
    double radius, double x, double y)
{
    if(isInRectangle(centerX, centerY, radius, x, y))
    {
        double dx = centerX - x;
        double dy = centerY - y;
        dx *= dx;
        dy *= dy;
        double distanceSquared = dx + dy;
        double radiusSquared = radius * radius;
        return distanceSquared <= radiusSquared;
    }
    return false;
}

这是更有效和可读的。它避免了昂贵的平方根运算。我还添加了一个检查以确定该点是否在圆的边界矩形内。

矩形检查是不必要的，除非有很多点或很多圆。如果大多数点在圆内，则边界矩形检查实际上会使速度变慢！

与往常一样，请务必考虑您的用例。

计算距离

D = Math.Sqrt(Math.Pow(center_x - x, 2) + Math.Pow(center_y - y, 2))
return D <= radius

在C＃中...转换为在python中使用...

您应该检查从圆心到点的距离是否小于半径，即

if (x-center_x)**2 + (y-center_y)**2 <= radius**2:
    # inside circle

如上所述-使用欧几里得距离。

from math import hypot

def in_radius(c_x, c_y, r, x, y):
    return math.hypot(c_x-x, c_y-y) <= r

找到圆心和给定点之间的距离。如果它们之间的距离小于半径，则该点位于圆内。如果它们之间的距离等于圆的半径，则该点位于圆的圆周上。如果距离大于半径，则该点在圆之外。

int d = r^2 - (center_x-x)^2 + (center_y-y)^2;

if(d>0)
  print("inside");
else if(d==0)
  print("on the circumference");
else
  print("outside");

下面的方程式是一个测试点的表达式，其中xP＆yP是该点的坐标，xC＆yC是该圆的中心，R是该给定圆的半径。

如果上述表达式为真，则该点在圆内。

以下是C＃中的示例实现：

    public static bool IsWithinCircle(PointF pC, Point pP, Single fRadius){
        return Distance(pC, pP) <= fRadius;
    }

    public static Single Distance(PointF p1, PointF p2){
        Single dX = p1.X - p2.X;
        Single dY = p1.Y - p2.Y;
        Single multi = dX * dX + dY * dY;
        Single dist = (Single)Math.Round((Single)Math.Sqrt(multi), 3);

        return (Single)dist;
    }

这与Jason Punyon提到的解决方案相同，但其中包含一个伪代码示例和更多详细信息。写完这篇文章后，我看到了他的回答，但我不想删除我的。

我认为最容易理解的方法是首先计算圆心与点之间的距离。我将使用以下公式：

d = sqrt((circle_x - x)^2 + (circle_y - y)^2)

然后，只需将该公式的结果（距离（d））与进行比较radius。如果距离（d）小于或等于半径（r），则该点在圆内（如果d和r相等，则在圆的边缘）。

这是一个伪代码示例，可以轻松将其转换为任何编程语言：

function is_in_circle(circle_x, circle_y, r, x, y)
{
    d = sqrt((circle_x - x)^2 + (circle_y - y)^2);
    return d <= r;
}

其中circle_x和circle_y是圆的中心坐标，是圆r的半径，x并且y是点的坐标。

我在C＃中的答案是完整的剪切和粘贴（未优化）解决方案：

public static bool PointIsWithinCircle(double circleRadius, double circleCenterPointX, double circleCenterPointY, double pointToCheckX, double pointToCheckY)
{
    return (Math.Pow(pointToCheckX - circleCenterPointX, 2) + Math.Pow(pointToCheckY - circleCenterPointY, 2)) < (Math.Pow(circleRadius, 2));
}

用法：

if (!PointIsWithinCircle(3, 3, 3, .5, .5)) { }

如前所述，要显示该点是否在圆中，可以使用以下命令

if ((x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2) {
    in.circle <- "True"
} else {
    in.circle <- "False"
}

为了用图形表示它，我们可以使用：

plot(x, y, asp = 1, xlim = c(-1, 1), ylim = c(-1, 1), col = ifelse((x-center_x)^2 + (y - center_y)^2 < radius^2,'green','red'))
draw.circle(0, 0, 1, nv = 1000, border = NULL, col = NA, lty = 1, lwd = 1)

我将以下代码用于像我这样的初学者：）。

公开课Incirkel {

public static void main(String[] args) {
    int x; 
    int y; 
    int middelx; 
    int middely; 
    int straal; {

// Adjust the coordinates of x and y 
x = -1;
y = -2;

// Adjust the coordinates of the circle
middelx = 9; 
middely = 9;
straal =  10;

{
    //When x,y is within the circle the message below will be printed
    if ((((middelx - x) * (middelx - x)) 
                    + ((middely - y) * (middely - y))) 
                    < (straal * straal)) {
                        System.out.println("coordinaten x,y vallen binnen cirkel");
    //When x,y is NOT within the circle the error message below will be printed
    } else {
        System.err.println("x,y coordinaten vallen helaas buiten de cirkel");
    } 
}



    }
}}

如果要检查3D点是否在单位球体中，则进入3D世界，您最终会做类似的事情。在2D模式下工作所需要做的就是使用2D向量操作。

    public static bool Intersects(Vector3 point, Vector3 center, float radius)
    {
        Vector3 displacementToCenter = point - center;

        float radiusSqr = radius * radius;

        bool intersects = displacementToCenter.magnitude < radiusSqr;

        return intersects;
    }

我知道距离最佳投票答案还有数年的时间，但我设法将计算时间减少了4。

您只需要从圆的1/4计算像素，然后乘以4。

这是我已经达到的解决方案：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h> 

int x, y, r;
int mx, c, t;
int dx, dy;
int p;

int main() {
    for (r = 1; r < 128; r++){

        clock_t t; 
        t = clock();

        p = calculatePixels(r);

        t = clock() - t; 
        double time_taken = ((double)t)/CLOCKS_PER_SEC; // in seconds 

        printf( "%d of pixels inside circle with radius %d, took %f seconds to execute \n", p, r, time_taken);
    }
}

int calculatePixels(int r){
    mx = 2 * r;
    c = (mx+1)*(mx+1);
    t = r * r;
    int a = 0;
    for (x = 0; x < r; x++){
      for (y = 0; y < r; y++){
          dx = x-r;
          dy = y-r;
          if ((dx*dx + dy*dy) > t)
              a++;
          else 
              y = r;
      }
    }
    return (c - (a * 4));
}

这是解决此问题的简单Java代码：

及其背后的数学：https : //math.stackexchange.com/questions/198764/how-to-know-if-a-point-is-inside-a-circle

boolean insideCircle(int[] point, int[] center, int radius) {
    return (float)Math.sqrt((int)Math.pow(point[0]-center[0],2)+(int)Math.pow(point[1]-center[1],2)) <= radius;
}

的PHP

if ((($x - $center_x) ** 2 + ($y - $center_y) ** 2) <=  $radius **2) {
    return true; // Inside
} else {
    return false; // Outside
}