ackb是正确的，这些基于矢量的解决方案不能视为真实的角度平均值，它们只是单位矢量对应项的平均值。但是，ackb的建议解决方案似乎在数学上并不合理。
以下是从最小化（angle [i]-avgAngle）^ 2（必要时会修正差异）的目标数学上得出的解决方案，这使其成为角度的真实算术平均值。
首先，我们需要准确地查看在哪些情况下角度之间的差异与其法线对数之间的差异是不同的。考虑角度x和y，如果y> = x-180并且y <= x + 180，那么我们可以直接使用差（xy）。否则，如果不满足第一个条件，则必须在计算中使用（y + 360）而不是y。相应地，如果不满足第二个条件，则必须使用（y-360）而不是y。由于曲线方程式仅使这些不等式从真变为假或反之亦然的点处的变化最小，因此我们可以将整个[0,360]范围分成由这些点分隔的一组线段。然后，我们只需要找到这些分段中的每个的最小值，然后找到每个分段的最小值（即平均值）中的最小值即可。
这是一张图像，说明在计算角度差时出现问题的位置。如果x位于灰色区域，则将出现问题。
为了最小化变量，根据曲线，我们可以取要最小化的导数，然后找到转折点（导数= 0的地方）。
在这里，我们将应用最小化平方差的想法来推导通用算术平均公式：sum（a [i]）/ n。曲线y = sum（（a [i] -x）^ 2）可以通过以下方式最小化：
y = sum((a[i]-x)^2)
= sum(a[i]^2 - 2*a[i]*x + x^2)
= sum(a[i]^2) - 2*x*sum(a[i]) + n*x^2
dy\dx = -2*sum(a[i]) + 2*n*x
for dy/dx = 0:
-2*sum(a[i]) + 2*n*x = 0
-> n*x = sum(a[i])
-> x = sum(a[i])/n
现在将其应用于具有调整后的差异的曲线：
b = a的子集，其中正确的（角度）差异a [i] -xc = a的子集，其中正确的（角度）差异（a [i] -360）-x cn = cd的大小= a的子集，其中正确的（角度）差（a [i] +360）-x dn = d的大小
y = sum((b[i]-x)^2) + sum(((c[i]-360)-b)^2) + sum(((d[i]+360)-c)^2)
= sum(b[i]^2 - 2*b[i]*x + x^2)
+ sum((c[i]-360)^2 - 2*(c[i]-360)*x + x^2)
+ sum((d[i]+360)^2 - 2*(d[i]+360)*x + x^2)
= sum(b[i]^2) - 2*x*sum(b[i])
+ sum((c[i]-360)^2) - 2*x*(sum(c[i]) - 360*cn)
+ sum((d[i]+360)^2) - 2*x*(sum(d[i]) + 360*dn)
+ n*x^2
= sum(b[i]^2) + sum((c[i]-360)^2) + sum((d[i]+360)^2)
- 2*x*(sum(b[i]) + sum(c[i]) + sum(d[i]))
- 2*x*(360*dn - 360*cn)
+ n*x^2
= sum(b[i]^2) + sum((c[i]-360)^2) + sum((d[i]+360)^2)
- 2*x*sum(x[i])
- 2*x*360*(dn - cn)
+ n*x^2
dy/dx = 2*n*x - 2*sum(x[i]) - 2*360*(dn - cn)
for dy/dx = 0:
2*n*x - 2*sum(x[i]) - 2*360*(dn - cn) = 0
n*x = sum(x[i]) + 360*(dn - cn)
x = (sum(x[i]) + 360*(dn - cn))/n
仅凭此值还不足以获取最小值，但它对于具有无界集合的普通值有效，因此结果肯定在集合的范围内，因此有效。我们需要一个范围内的最小值（由细分定义）。如果最小值小于我们分段的下限，则该分段的最小值必须在下限（因为二次曲线仅具有1个转折点），并且如果最小值大于我们分段的上限，则分段的最小值位于下限。上限。在每个段都有最小值之后，我们简单地找到最小化值的那个段（sum（（（b [i] -x）^ 2）+ sum（（（（c [i] -360 ）-b）^ 2）+ sum（（（（d [i] +360）-c）^ 2））。
这是曲线的图像，显示了曲线在x =（a [i] +180）％360的点处如何变化。有问题的数据集是{65,92,230,320,250}。
这是该算法在Java中的实现，包括一些优化，其复杂度为O（nlogn）。如果将基于比较的排序替换为基于非比较的排序（例如基数排序），则可以将其减小为O（n）。
static double varnc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX;
}
//with lower correction
static double varlc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX, int _nc, double _sumC)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX
+ 2*360*_sumC + _nc*(-2*360*_mean + 360*360);
}
//with upper correction
static double varuc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX, int _nc, double _sumC)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX
- 2*360*_sumC + _nc*(2*360*_mean + 360*360);
}
static double[] averageAngles(double[] _angles)
{
double sumAngles;
double sumSqrAngles;
double[] lowerAngles;
double[] upperAngles;
{
List<Double> lowerAngles_ = new LinkedList<Double>();
List<Double> upperAngles_ = new LinkedList<Double>();
sumAngles = 0;
sumSqrAngles = 0;
for(double angle : _angles)
{
sumAngles += angle;
sumSqrAngles += angle*angle;
if(angle < 180)
lowerAngles_.add(angle);
else if(angle > 180)
upperAngles_.add(angle);
}
Collections.sort(lowerAngles_);
Collections.sort(upperAngles_,Collections.reverseOrder());
lowerAngles = new double[lowerAngles_.size()];
Iterator<Double> lowerAnglesIter = lowerAngles_.iterator();
for(int i = 0; i < lowerAngles_.size(); i++)
lowerAngles[i] = lowerAnglesIter.next();
upperAngles = new double[upperAngles_.size()];
Iterator<Double> upperAnglesIter = upperAngles_.iterator();
for(int i = 0; i < upperAngles_.size(); i++)
upperAngles[i] = upperAnglesIter.next();
}
List<Double> averageAngles = new LinkedList<Double>();
averageAngles.add(180d);
double variance = varnc(180,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles);
double lowerBound = 180;
double sumLC = 0;
for(int i = 0; i < lowerAngles.length; i++)
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles + 360*i)/_angles.length;
//minimum is outside segment range (therefore not directly relevant)
//since it is greater than lowerAngles[i], the minimum for the segment
//must lie on the boundary lowerAngles[i]
if(testAverageAngle > lowerAngles[i]+180)
testAverageAngle = lowerAngles[i];
if(testAverageAngle > lowerBound)
{
double testVariance = varlc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,i,sumLC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
lowerBound = lowerAngles[i];
sumLC += lowerAngles[i];
}
//Test last segment
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles + 360*lowerAngles.length)/_angles.length;
//minimum is inside segment range
//we will test average 0 (360) later
if(testAverageAngle < 360 && testAverageAngle > lowerBound)
{
double testVariance = varlc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,lowerAngles.length,sumLC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
}
double upperBound = 180;
double sumUC = 0;
for(int i = 0; i < upperAngles.length; i++)
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles - 360*i)/_angles.length;
//minimum is outside segment range (therefore not directly relevant)
//since it is greater than lowerAngles[i], the minimum for the segment
//must lie on the boundary lowerAngles[i]
if(testAverageAngle < upperAngles[i]-180)
testAverageAngle = upperAngles[i];
if(testAverageAngle < upperBound)
{
double testVariance = varuc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,i,sumUC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
upperBound = upperAngles[i];
sumUC += upperBound;
}
//Test last segment
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles - 360*upperAngles.length)/_angles.length;
//minimum is inside segment range
//we test average 0 (360) now
if(testAverageAngle < 0)
testAverageAngle = 0;
if(testAverageAngle < upperBound)
{
double testVariance = varuc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,upperAngles.length,sumUC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
}
double[] averageAngles_ = new double[averageAngles.size()];
Iterator<Double> averageAnglesIter = averageAngles.iterator();
for(int i = 0; i < averageAngles_.length; i++)
averageAngles_[i] = averageAnglesIter.next();
return averageAngles_;
}
一组角度的算术平均值可能与您对平均值应该是什么的直观认识不一致。例如，集合{179,179,0,181,181}的算术平均值为216（和144）。您立即想到的答案可能是180，但是众所周知，算术平均值受到边值的严重影响。您还应该记住，角度不是矢量，因为有时在处理角度时可能看起来很吸引人。
该算法当然也适用于所有服从模块化算术（经过最小调整）的量，例如一天中的时间。
我还要强调一点，即使这是一个真实的角度平均值，与矢量解不同，这并不一定意味着它是您应该使用的解，相应的单位矢量的平均值很可能就是您实际使用的值应该被使用。
