您从这种随机打乱中得到什么分布？

Question 1

著名的Fisher-Yates随机播放算法可用于随机排列长度为N的数组A：

For k = 1 to N
    Pick a random integer j from k to N
    Swap A[k] and A[j]

一遍又一遍地告诉我不要犯的一个常见错误是：

For k = 1 to N
    Pick a random integer j from 1 to N
    Swap A[k] and A[j]

也就是说，您不是从k到N中选择一个随机整数，而是从1到N中选择了一个随机整数。

如果您犯了这个错误怎么办？我知道结果排列不是均匀分布的，但是我不知道对结果分布有什么保证。特别是，是否有人对元素的最终位置上的概率分布有表达式？

Question 2

一种经验方法。

让我们在Mathematica中实现错误的算法：

p = 10; (* Range *)
s = {}
For[l = 1, l <= 30000, l++, (*Iterations*)
   a = Range[p];
   For[k = 1, k <= p, k++, 
     i = RandomInteger[{1, p}];
     temp = a[[k]];
     a[[k]] = a[[i]];
     a[[i]] = temp
   ];
   AppendTo[s, a];
]

现在获取每个整数在每个位置的次数：

r = SortBy[#, #[[1]] &] & /@ Tally /@ Transpose[s]

让我们在结果数组中占据三个位置，并绘制该位置上每个整数的频率分布：

对于位置1，频率分布为：

对于位置5（中）

对于位置10（最后）：

在这里，您将所有位置的分布都绘制在一起：

在这里您可以更好地统计8个职位：

一些观察：

对于所有位置，概率“ 1”相同（1 / n）。
概率矩阵关于大反对角线对称
因此，最后一个位置上任何数字的概率也是均匀的（1 / n）

您可以查看从同一点开始的所有线（第一个属性）和最后一条水平线（第三个属性）的起点，以可视化那些属性。

从下面的矩阵表示示例中可以看到第二个属性，其中行是位置，列是乘员数，颜色表示实验概率：

对于100x100矩阵：

编辑

只是为了好玩，我计算了第二个对角元素的精确公式（第一个是1 / n）。其余的工作都可以完成，但这是很多工作。

h[n_] := (n-1)/n^2 + (n-1)^(n-2) n^(-n)

验证值从n = 3到6（{8/27，57/256，564/3125，7105/46656}）

编辑

在@wnoise答案中计算一些一般的显式计算，我们可以获得更多信息。

用p [n]代替1 / n，因此计算不予评估，例如，我们得到n = 7的矩阵的第一部分（单击以查看大图）：

在与其他n值的结果进行比较之后，让我们确定矩阵中一些已知的整数序列：

{{  1/n,    1/n      , ...},
 {... .., A007318, ....},
 {... .., ... ..., ..},
 ... ....,
 {A129687, ... ... ... ... ... ... ..},
 {A131084, A028326 ... ... ... ... ..},
 {A028326, A131084 , A129687 ... ....}}

您可以在精美的http://oeis.org/中找到这些序列（在某些情况下具有不同的符号）

解决一般问题比较困难，但我希望这是一个开始

Question 3

您提到的“常见错误”是随机换位。Diaconis和Shahshahani在生成具有随机换位的随机排列中进行了详细的研究（1981年）。他们对停止时间和收敛性进行了完整的分析。如果您找不到该论文的链接，请给我发送电子邮件，我可以将其转发给您。这实际上是一本有趣的书（Persi Diaconis的大多数论文也是如此）。

如果数组有重复的条目，则问题会稍有不同。作为一个无耻的插件，我，Diaconis和Soundararajan在《Riffle Shuffling的经验法则》（2011）的附录B中解决了这个更普遍的问题。

Question 4

比方说

a = 1/N
b = 1-a
B _i（k）是i交换k第th个元素后的概率矩阵。即对“交换k之后在哪里i？”这个问题的答案。例如B ₀（3）=(0 0 1 0 ... 0)和B ₁（3）= (a 0 b 0 ... 0)。你想要的是B _N每k个（k）。
K _i是一个NxN矩阵，在第i列和第i行中为1，在其他所有位置为零，例如：

kappa_2

我_我是单位矩阵，但是与该元素X = Y = I归零。例如，对于i = 2：

I_2

一个_我是

Ai = bIi + aKi

然后，

B_n

但是由于B _N（k = 1..N）构成单位矩阵，因此任何给定元素i最终将位于位置j的概率由矩阵的矩阵元素（i，j）给出：

解矩阵

例如，对于N = 4：

B_4

如图所示，N = 500（颜色级别为100 *概率）：

B_500

对于所有N> 2，模式都是相同的：

第k个元素最可能的结束位置是k-1。
的至少可能的终止位置为k为ķ<N * LN（2） ，位置1否则

Question 5

我知道我以前看过这个问题...

“为什么使用这种简单的随机播放算法会产生有偏差的结果？这是什么简单原因？ ”答案中有很多不错的东西，尤其是Jeff Atwood的博客在Coding Horror上的链接。

您可能已经猜到了，根据@belisarius的回答，确切的分布高度取决于要改组的元素数。这是阿特伍德（Atwood）的六元素甲板的地块：

在此处输入图片说明

Question 6

多么可爱的问题！我希望我有一个完整的答案。

Fisher-Yates很好分析，因为一旦决定了第一个元素，它就不会管它了。有偏见的人可以在任何地方反复交换元素。

通过将动作描述为线性地作用于概率分布的随机转移矩阵，我们可以像处理马尔可夫链一样进行分析。多数元素不放置，对角线通常为（n-1）/ n。在传递k时，当他们不孤单时，会与元素k交换（如果是元素k，则交换为随机元素）。在行或列k中，这是1 /（n-1）。行k和列k中的元素也是1 /（n-1）。将这些矩阵相乘就很容易，因为k从1到n。

我们确实知道，最后一位的元素原本可能在任何地方，因为最后一次传递将最后一位与其他任何一位同样地交换。同样，第一个元素将同样有可能放置在任何地方。这种对称性是因为转置颠倒了矩阵乘法的顺序。实际上，矩阵在行i与列（n + 1-i）相同的意义上是对称的。除此之外，数字并没有显示出明显的规律。这些确切的解决方案确实与belisarius进行的仿真一致：在插槽i中，当j升至i时，得到j的概率降低，在i-1处达到最低值，然后在i处升至最高值，并且减小直到j达到n。

在Mathematica中，我用

 step[k_, n_] := Normal[SparseArray[{{k, i_} -> 1/n, 
                      {j_, k} -> 1/n, {i_, i_} -> (n - 1)/n} , {n, n}]]

（我在任何地方都没有找到文档，但是使用了第一个匹配规则。）可以使用以下公式计算最终的转换矩阵：

Fold[Dot, IdentityMatrix[n], Table[step[m, n], {m, s}]]

ListDensityPlot 是有用的可视化工具。

编辑（作者belisarius）

只是一个确认。以下代码给出与@Eelvex答案相同的矩阵：

step[k_, n_] := Normal[SparseArray[{{k, i_} -> (1/n), 
                      {j_, k} -> (1/n), {i_, i_} -> ((n - 1)/n)}, {n, n}]];
r[n_, s_] := Fold[Dot, IdentityMatrix[n], Table[step[m, n], {m, s}]];
Last@Table[r[4, i], {i, 1, 4}] // MatrixForm

Question 7

Wikipedia上有关Fisher-Yates随机播放的页面上有描述和示例，说明了在这种情况下将发生的情况。

Question 8

您可以使用随机矩阵计算分布。令矩阵A（i，j）描述最初在位置i处牌面最终到达位置j的概率。然后，第k个交换项具有由Ak(i,j) = 1/Nifi == k或给出的矩阵Ak j == k（位置k的卡可以终止于任何位置，任何卡都可以以相同的概率终止于位置k），Ak(i,i) = (N - 1)/N对于所有i != k（所有其他卡将在相同位置保留）概率（N-1）/ N），所有其他元素为零。

然后通过矩阵的乘积给出完全混洗的结果 AN ... A1。

我希望您正在寻找有关概率的代数描述；您可以通过扩展上述矩阵乘积来获得一个，但我想它会相当复杂！

更新：我刚刚在上面发现了wnoise的等效答案！哎呀...

Question 9

我对此进行了进一步的研究，结果证明对该分布进行了详尽的研究。之所以感兴趣，是因为该“中断”算法已（或曾经）用于RSA芯片系统。

在通过半随机换位进行混洗中，Elchanan Mossel，Yuval Peres和Alistair Sinclair研究了这种混洗以及更一般的混洗类别。该论文的结果似乎是需要log(n)打乱打乱才能获得接近随机的分布。

在三种伪随机混战（Aequationes Mathematicae混洗，22，1981，268-292），Ethan Bolker和David Robbins分析了这种混洗，并确定单次通过后与均匀性的总变化距离为1，表明它不是很均匀完全是随机的。他们也提供渐近分析。

最终，洛朗·萨洛夫·科斯特（Laurent Saloff-Coste）和杰西卡·祖尼加（Jessica Zuniga）在研究非均匀马尔可夫链时发现了一个不错的上限。

Question 10

这个问题要求对提到的打乱进行交互式视觉矩阵图分析。这样的工具会在页面随机播放吗？-为什么随机比较器不好-Mike Bostock。

Bostock汇集了分析随机比较器的出色工具。在该页面的下拉菜单中，选择天真的交换（随机↦随机）以查看损坏的算法及其产生的模式。

他的页面内容丰富，因为它使人们可以看到逻辑变化对随机数据的直接影响。例如：

此矩阵图使用非均匀且非常有偏的随机播放，是通过简单的交换（我们从“ 1到N”中选取）生成的，其代码如下所示：

function shuffle(array) {
    var n = array.length, i = -1, j;
    while (++i < n) {
        j = Math.floor(Math.random() * n);
        t = array[j];
        array[j] = array[i];
        array[i] = t;
    }
}

但是，如果我们实现了一个非偏斜混洗（从“ k到N”中选取），我们应该看到如下图：

分布是统一的，并且是由以下代码产生的：

function FisherYatesDurstenfeldKnuthshuffle( array ) {
    var pickIndex, arrayPosition = array.length;
    while( --arrayPosition ) {
        pickIndex = Math.floor( Math.random() * ( arrayPosition + 1 ) );
        array[ pickIndex ] = [ array[ arrayPosition ], array[ arrayPosition ] = array[ pickIndex ] ][ 0 ];
    }
}

Question 11

到目前为止，给出的出色答案都集中在分布上，但是您还问过“如果犯了这个错误会发生什么？” -这是我尚未看到的答案，因此，我将对此进行解释：

Knuth-Fisher-Yates随机算法从n个元素中选择1个，然后从n-1个剩余元素中选择1个，依此类推。

你可以用两个数组a1和a2你来自哪里，A1删除一个元素，并将其插入到A2实现它，但是算法不到位（这意味着，它只需要一个数组），作为解释这里（谷歌：“改组算法Fisher-Yates DataGenetics”）。

如果不删除元素，则可以再次随机选择它们，从而产生有偏的随机性。这正是您所描述的第二个示例所做的。第一个示例是Knuth-Fisher-Yates算法，它使用从k到N的游标变量，该变量记住已经采用了哪些元素，因此避免了多次选取元素。