棘手的Google面试问题

我的一个朋友正在面试工作。采访中的一个问题让我思考，只想要一些反馈。

有2个非负整数：i和j。给定以下方程式，找到一种（最佳）解决方案以对i和j进行迭代，以对输出进行排序。

2^i * 5^j

因此，前几轮如下所示：

2^0 * 5^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
2^4 * 5^0 = 16
2^2 * 5^1 = 20
2^0 * 5^2 = 25

尝试尝试，我看不到任何模式。你的想法？

Dijkstra在“编程纪律”中得出了雄辩的解决方案。他将问题归因于汉明。这是我对Dijkstra解决方案的实现。

int main()
{
    const int n = 20;       // Generate the first n numbers

    std::vector<int> v(n);
    v[0] = 1;

    int i2 = 0;             // Index for 2
    int i5 = 0;             // Index for 5

    int x2 = 2 * v[i2];     // Next two candidates
    int x5 = 5 * v[i5];

    for (int i = 1; i != n; ++i)
    {
        int m = std::min(x2, x5);
        std::cout << m << " ";
        v[i] = m;

        if (x2 == m)
        {
            ++i2;
            x2 = 2 * v[i2];
        }
        if (x5 == m)
        {
            ++i5;
            x5 = 5 * v[i5];
        }
    }

    std::cout << std::endl;
    return 0;
}

这是一种更精致的方法（比我以前的回答更精致）：

想象数字放在一个矩阵中：

     0    1    2    3    4    5   -- this is i
----------------------------------------------
0|   1    2    4    8   16   32
1|   5   10   20   40   80  160
2|  25   50  100  200  400  800
3| 125  250  500 1000 2000 ...
4| 625 1250 2500 5000 ...
j on the vertical

您需要做的是从开始“遍历”此矩阵(0,0)。您还需要跟踪可能的下一步行动。当您开始时(0,0)只有两个选项：(0,1)或(1,0)：由于的值(0,1)较小，因此选择该选项。然后做同样为您的下一个选择(0,2)或(1,0)。到目前为止，您具有以下列表：1, 2, 4。下一步是(1,0)因为该值小于(0,3)。但是，您现在有下一步选择的三个选择：(0,3)，或(1,1)，或(2,0)。

您不需要矩阵来获取列表，但是您需要跟踪所有选择（即，当您达到125+时，将有4个选择）。

使用最小堆。

放入1。

提取最小 假设您得到x。

将2x和5x推入堆中。

重复。

无需存储x = 2 ^ i * 5 ^ j，您可以存储（i，j）并使用自定义比较功能。

基于FIFO的解决方案需要较少的存储容量。Python代码。

F = [[1, 0, 0]]             # FIFO [value, i, j]
i2 = -1; n2 = n5 = None     # indices, nexts
for i in range(1000):       # print the first 1000
    last = F[-1][:]
    print "%3d. %21d = 2^%d * 5^%d" % tuple([i] + last)
    if n2 <= last: i2 += 1; n2 = F[i2][:]; n2[0] *= 2; n2[1] += 1
    if n5 <= last: i2 -= 1; n5 = F.pop(0); n5[0] *= 5; n5[2] += 1
    F.append(min(n2, n5))

输出：

  0.                     1 = 2^0 * 5^0
  1.                     2 = 2^1 * 5^0
  2.                     4 = 2^2 * 5^0
 ...
998. 100000000000000000000 = 2^20 * 5^20
999. 102400000000000000000 = 2^27 * 5^17

O(n)用功能语言很容易做到这一点。该列表l的2^i*5^j数字可以简单地定义为1，然后2*l和5*l合并。这是Haskell的外观：

merge :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
merge (a:as) (b:bs)   
  | a < b   = a : (merge as (b:bs))
  | a == b  = a : (merge as bs)
  | b > a   = b : (merge (a:as) bs)

xs :: [Integer]
xs = 1 : merge (map(2*)xs) (map(5*)xs)

该merge函数在恒定时间内为您提供了一个新值。也是如此map，因此也是如此l。

您必须跟踪它们的各个指数，以及它们的总和是多少

所以从f(0,0) --> 1 现在开始，您必须增加其中之一：

f(1,0) = 2
f(0,1) = 5

所以我们知道2是下一个-我们也知道我们可以将i的指数递增直到和为5。

您一直这样来回移动，直到达到所需的回合数。

使用动态编程，您可以在O（n）中执行此操作。基本事实是，i和j的任何值都不能给我们0，而要得到1，两个值都必须为0。

TwoCount[1] = 0
FiveCount[1] = 0

// function returns two values i, and j
FindIJ(x) {
    if (TwoCount[x / 2]) {
        i = TwoCount[x / 2] + 1
        j = FiveCount[x / 2]
    }
    else if (FiveCount[x / 5]) {
        i = TwoCount[x / 2]
        j = FiveCount[x / 5] + 1
    }
}

每当您调用此函数时，请检查是否设置了i和j，如果它们不为null，则填充TwoCount和FiveCount

C ++答案。不好意思的编码风格，但是我很着急:(

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>

int * TwoCount;
int * FiveCount;

using namespace std;

void FindIJ(int x, int &i, int &j) {
        if (x % 2 == 0 && TwoCount[x / 2] > -1) {
                cout << "There's a solution for " << (x/2) << endl;
                i = TwoCount[x / 2] + 1;
                j = FiveCount[x / 2];
        } else if (x % 5 == 0 && TwoCount[x / 5] > -1) {
                cout << "There's a solution for " << (x/5) << endl;
                i = TwoCount[x / 5];
                j = FiveCount[x / 5] + 1;
        }    
}

int main() {
        TwoCount = new int[200];
        FiveCount = new int[200];

        for (int i = 0; i < 200; ++i) {
                TwoCount[i] = -1;
                FiveCount[i] = -1;
        }

        TwoCount[1] = 0;
        FiveCount[1] = 0;

        for (int output = 2; output < 100; output++) {
                int i = -1;
                int j = -1;
                FindIJ(output, i, j);
                if (i > -1 && j > -1) {
                        cout << "2^" << i << " * " << "5^" 
                                     << j << " = " << output << endl;
                        TwoCount[output] = i;
                        FiveCount[output] = j;
                }
        }    
}

显然，您可以使用数组以外的数据结构来动态地增加存储空间等。这只是证明它可以工作的草图。

为什么不尝试从另一个方向看呢？使用计数器来针对原始公式测试可能的答案。对不起，伪代码。

for x = 1 to n
{
  i=j=0
  y=x
  while ( y > 1 )
  {
    z=y
    if y divisible by 2 then increment i and divide y by 2
    if y divisible by 5 then increment j and divide y by 5

    if y=1 then print i,j & x  // done calculating for this x

    if z=y then exit while loop  // didn't divide anything this loop and this x is no good 
  }
}

这个是OEIS中的相关条目。

似乎有可能通过生成前几个项来获得有序序列，例如

1 2 4 5

然后从第二项开始，分别乘以4和5得到下两个

1 2 4 5 8 10

1 2 4 5 8 10 16 20

1 2 4 5 8 10 16 20 25

等等...

从直觉上看，这似乎是正确的，但是当然缺少证明。

您知道log_2（5）= 2.32。从中我们注意到2 ^ 2 <5和2 ^ 3> 5。

现在看一下可能答案的矩阵：

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   4   8  16  32
 1   5  10  20  40  80 160 
 2  25  50 100 200 400 800
 3 125 250 500 ...

现在，对于此示例，请按顺序选择数字。排序如下：

j/i  0   1   2   3   4   5
 0   1   2   3   5   7  10
 1   4   6   8  11  14  18
 2   9  12  15  19  23  27
 3  16  20  24...

请注意，每一行从开始该行的后面开始两列。例如，i = 0 j = 1直接在i = 2 j = 0之后。

因此，我们可以从这种模式中得出的算法是（假设j> i）：

int i = 2;
int j = 5;
int k;
int m;

int space = (int)(log((float)j)/log((float)i));
for(k = 0; k < space*10; k++)
{
    for(m = 0; m < 10; m++)
    {
        int newi = k-space*m;
        if(newi < 0)
            break;
        else if(newi > 10)
            continue;
        int result = pow((float)i,newi) * pow((float)j,m);
        printf("%d^%d * %d^%d = %d\n", i, newi, j, m, result);
    }
}   

注意：此处的代码将i和j的指数值限制为小于10。您可以轻松地扩展此算法以适合任何其他任意范围。

注意：对于前n个答案，此算法的运行时间为O（n）。

注意：此算法的空间复杂度为O（1）

我的实现基于以下思想：

• 使用两个队列Q2和Q5，它们都以1初始化。我们将两个队列保持在已排序的顺序。
• 在每一步中，从Q2或Q5中取出最小数量的元素MIN并进行打印。如果Q2和Q5都具有相同的元素-请将两者都移除。打印此号码。这基本上是两个排序数组的合并-在每一步中选择最小的元素并前进。
• 使MIN * 2到Q2和MIN * 5到Q5。由于MIN大于先前的MIN编号，因此此更改不会破坏Q2 / Q5的不变性。

例：

Start with 1 and 1 (to handle i=0;j=0 case):
  Q2: 1
  Q5: 1
Dequeue 1, print it and enqueue 1*2 and 1*5:
  Q2: 2
  Q5: 5
Pick 2 and add 2*2 and 2*5:
  Q2: 4
  Q5: 5 10
Pick 4 and add 4*2 and 4*5:
  Q2: 8
  Q5: 5 10 20
....

Java代码：

public void printNumbers(int n) {
    Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
    Queue<Integer> q5 = new LinkedList<Integer>();
    q2.add(1);
    q5.add(1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a = q2.peek();
        int b = q5.peek();
        int min = Math.min(a, b);
        System.out.println(min);
        if (min == a) {
            q2.remove();
        }
        if (min == b) {
            q5.remove();
        }
        q2.add(min * 2);
        q5.add(min * 5);
    }
}

计算的结果，并把它们放在一个排序列表，连同值i和j

由Edsger Dijkstra（http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF）的user515430实现的算法可能会尽可能快。我称其2^i * 5^j为“特殊号码” 形式的每个号码。现在vlads的答案是，O(i*j)但是有一个双重算法，一个用于生成特殊数字O(i*j)，另一个用于对它们进行排序（也根据链接的文章）O(i*j)。

但是，让我们检查一下Dijkstra的算法（见下文）。在这种情况下n，我们要生成的特殊数字数量等于i*j。我们循环一次，1 -> n在每个循环中我们执行一个恒定的动作。所以这个算法也是O(i*j)。而且还具有非常出色的快速常数。

我在C ++中使用GMP（C ++包装器）实现，并且对的依赖boost::lexical_cast可以轻松删除（我很懒，而且谁不使用Boost？）。与编译g++ -O3 test.cpp -lgmpxx -o test。在Q6600上，Ubuntu 10.10 time ./test 1000000给出了1145ms。

#include <iostream>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
#include <gmpxx.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    mpz_class m, x2, x5, *array, r;
    long n, i, i2, i5;

    if (argc < 2) return 1;

    n = boost::lexical_cast<long>(argv[1]);

    array = new mpz_class[n];
    array[0] = 1;

    x2 = 2;
    x5 = 5;
    i2 = i5 = 0;

    for (i = 1; i != n; ++i) {
        m = std::min(x2, x5);

        array[i] = m;

        if (x2 == m) {
            ++i2;
            x2 = 2 * array[i2];
        }

        if (x5 == m) {
            ++i5;
            x5 = 5 * array[i5];
        }
    }

    delete [] array;
    std::cout << m << std::endl;

    return 0;
}

如果绘制一个矩阵，其中i为行，j为列，则可以看到该模式。从i = 0开始，然后向上移动2行并向右1列遍历矩阵，直到到达矩阵顶部（j> = 0）。然后去我+1，等等...

因此，对于我= 7，您将像这样旅行：

7, 0 -> 5, 1 -> 3, 2 -> 1, 3

对于我= 8：

8, 0 -> 6, 1 -> 4, 2 -> 2, 3 -> 0, 4

在Java中，这是i =9。它显示矩阵位置（i，j）和值。

for(int k = 0; k < 10; k++) {

    int j = 0;

    for(int i = k; i >= 0; i -= 2) {

        int value = (int)(Math.pow(2, i) * Math.pow(5, j));
        System.out.println(i + ", " + j + " -> " + value);
        j++;
    }
}

我的直觉：

如果我将初始值设为1，其中i = 0，j = 0，那么我可以创建下一个数字为（2 ^ 1）（5 ^ 0），（2 ^ 2）（5 ^ 0），（2 ^ 0） *（5 ^ 1），...即2,4,5 ..

可以说我的数字是x。那么我可以通过以下方式创建下一个数字：

• x * 2
• x * 4
• x * 5

说明：

Since new numbers can only be the product with 2 or 5.
But 4 (pow(2,2)) is smaller than 5, and also we have to generate 
Numbers in sorted order.Therefore we will consider next numbers
be multiplied with 2,4,5.
Why we have taken x*4 ? Reason is to pace up i, such that it should not 
be greater than pace of j(which is 5 to power). It means I will 
multiply my number by 2, then by 4(since 4 < 5), and then by 5 
to get the next three numbers in sorted order.

测试运行

We need to take an Array-list of Integers, let say Arr.

Also put our elements in Array List<Integers> Arr.
Initially it contains Arr : [1]

• 让我们从x = 1开始。

  接下来的三个数字是1 * 2、1 * 4、1 * 5 [2,4,5]；Arr [1,2,4,5]

• 现在x = 2

  接下来的三个数字是[4,8,10] {由于已经发生4，我们将忽略它} [8,10]；Arr [1,2,4,5,8,10]

• 现在x = 4

  接下来的三个数字[8,16,20] {8已经发生，请忽略它} [16,20] Arr [1,2,4,5,8,10,16,20]

• x = 5

  接下来的三个数字[10,20,25] {10,20}已经存在，因此添加了[25] Arr [1,2,4,5,8,10,16,20,25]

终止条件

 Terminating condition when Arr last number becomes greater 
 than (5^m1 * 2^m2), where m1,m2 are given by user.

分析

 Time Complexity : O(K) : where k is numbers possible between i,j=0 to 
 i=m1,j=m2.
 Space Complexity : O(K)

只是好奇下周会发生什么，并发现了这个问题。

我认为，想法是2 ^ i的增长幅度不如5 ^ j。因此，只要下一个j步不会更大，就增加i。

C ++中的示例（Qt是可选的）：

QFile f("out.txt"); //use output method of your choice here
f.open(QIODevice::WriteOnly);
QTextStream ts(&f);

int i=0;
int res=0;
for( int j=0; j<10; ++j )
{
    int powI = std::pow(2.0,i );
    int powJ = std::pow(5.0,j );
    while ( powI <= powJ  ) 
    {
        res = powI * powJ;
        if ( res<0 ) 
            break; //integer range overflow

        ts<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<res<<"\n";
        ++i;
        powI = std::pow(2.0,i );

    }
}

输出：

i   j   2^i * 5^j
0   0   1
1   1   10
2   1   20
3   2   200
4   2   400
5   3   4000
6   3   8000
7   4   80000
8   4   160000
9   4   320000
10  5   3200000
11  5   6400000
12  6   64000000
13  6   128000000
14  7   1280000000

这是我的解决方案

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N_VALUE 5
#define M_VALUE  5

int n_val_at_m_level[M_VALUE];

int print_lower_level_val(long double val_of_higher_level, int m_level)
{
int  n;
long double my_val;


for( n = n_val_at_m_level[m_level]; n <= N_VALUE; n++) {
    my_val =  powl(2,n) * powl(5,m_level);
    if(m_level != M_VALUE && my_val > val_of_higher_level) {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
    if( m_level != 0) {
        print_lower_level_val(my_val, m_level - 1);
    }
    if(my_val < val_of_higher_level || m_level == M_VALUE) {
        printf("    %Lf n=%d m = %d\n", my_val, n, m_level);
    } else {
        n_val_at_m_level[m_level] = n;
        return 0;
    }
 }
 n_val_at_m_level[m_level] = n;
 return 0;
 }


 main()
 {
    print_lower_level_val(0, M_VALUE); /* to sort 2^n * 5^m */
 }

结果：

1.000000 n = 0 m = 0
2.000000 n = 1 m = 0
4.000000 n = 2 m = 0
5.000000 n = 0 m = 1
8.000000 n = 3 m = 0
10.000000 n = 1 m = 1
16.000000 n = 4 m = 0
20.000000 n = 2 m = 1
25.000000 n = 0 m = 2
32.000000 n = 5 m = 0
40.000000 n = 3 m = 1
50.000000 n = 1 m = 2
80.000000 n = 4 m = 1
100.000000 n = 2 m = 2
125.000000 n = 0 m = 3
160.000000 n = 5 m = 1
200.000000 n = 3 m = 2
250.000000 n = 1 m = 3
400.000000 n = 4 m = 2
500.000000 n = 2 m = 3
625.000000 n = 0 m = 4
800.000000 n = 5 m = 2
1000.000000 n = 3 m = 3
1250.000000 n = 1 m = 4
2000.000000 n = 4 m = 3
2500.000000 n = 2 m = 4
3125.000000 n = 0 m = 5
4000.000000 n = 5 m = 3
5000.000000 n = 3 m = 4
6250.000000 n = 1 m = 5
10000.000000 n = 4 m = 4
12500.000000 n = 2 m = 5
20000.000000 n = 5 m = 4
25000.000000 n = 3 m = 5
50000.000000 n = 4 m = 5
100000.000000 n = 5 m = 5

我知道我可能是错的，但是这里有一个非常简单的启发式方法，因为它不涉及2,3,5之类的许多数字。我们知道，对于任何i，j 2 ^ i * 5 ^ j，下一个序列将是2 ^（i-2）* 5 ^（j + 1）。作为google q，它必须有一个简单的解决方案。

def func(i, j):
 print i, j, (2**i)*(5**j)

imax=i=2
j=0
print "i", "j", "(2**i)*(5**j)"

for k in range(20):
    func(i,j)
    j=j+1; i=i-2
    if(i<0):
        i = imax = imax+1
        j=0

产生的输出为：

i j (2**i)*(5**j)
2 0 4
0 1 5
3 0 8
1 1 10
4 0 16
2 1 20
0 2 25
5 0 32
3 1 40
1 2 50
6 0 64
4 1 80
2 2 100
0 3 125
7 0 128
5 1 160
3 2 200
1 3 250
8 0 256
6 1 320

如果您按表达式中的i或j递增时实际发生的情况 2^i * 5^j，您将乘以另外2或另一个5。如果将问题重述为-给定i和j的特定值，您将如何查找下一个更大的价值，解决方案变得显而易见。

这是我们可以很直观地列举的规则：

• 如果i > 1表达式中有一对2s（），则应将其替换为5，以获得下一个最大的数字。因此，i -= 2和j += 1。
• 否则，如果有5（j > 0），我们需要将其替换为三个2。所以j -= 1和i += 3。
• 否则，我们只需要再提供2个即可将值增加一个最小值。i += 1。

这是Ruby中的程序：

i = j = 0                                                                       
20.times do                                                                     
  puts 2**i * 5**j

  if i > 1                                                                      
    j += 1                                                                      
    i -= 2                                                                      
  elsif j > 0                                                                   
    j -= 1                                                                      
    i += 3                                                                      
  else                                                                          
    i += 1                                                                      
  end                                                                                                                                                               
end

如果允许使用java集合，则可以在O（n ^ 2）中使用这些数字

public static void main(String[] args) throws Exception {
    int powerLimit = 7;  
     int first = 2;
     int second = 5;
    SortedSet<Integer> set = new TreeSet<Integer>();

    for (int i = 0; i < powerLimit; i++) {
        for (int j = 0; j < powerLimit; j++) {
            Integer x = (int) (Math.pow(first, i) * Math.pow(second, j));
            set.add(x);
        }
    }

    set=set.headSet((int)Math.pow(first, powerLimit));

    for (int p : set)
        System.out.println(p);
}

在这里，powerLimit必须非常仔细地初始化！取决于您想要多少个数字。

这是我对Scala的尝试：

case class IndexValue(twosIndex: Int, fivesIndex: Int)
case class OutputValues(twos: Int, fives: Int, value: Int) {
  def test(): Boolean = {
    Math.pow(2,  twos) * Math.pow(5, fives) == value
  }
}

def run(last: IndexValue = IndexValue(0, 0), list: List[OutputValues] = List(OutputValues(0, 0, 1))): List[OutputValues] = {
  if (list.size > 20) {
    return list
  }

  val twosValue = list(last.twosIndex).value * 2
  val fivesValue = list(last.fivesIndex).value * 5

  if (twosValue == fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else if (twosValue < fivesValue) {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex)
    val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.twosIndex).fives)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  } else {
    val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex, last.fivesIndex + 1)
    val outputValues = OutputValues(value = fivesValue, twos = list(last.fivesIndex).twos, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
    run(lastIndex, list :+ outputValues)
  }
}

val initialIndex = IndexValue(0, 0)
run(initialIndex, List(OutputValues(0, 0, 1))) foreach println

输出：

OutputValues(0,0,1)
OutputValues(1,0,2)
OutputValues(2,0,4)
OutputValues(0,1,5)
OutputValues(3,0,8)
OutputValues(1,1,10)
OutputValues(4,0,16)
OutputValues(2,1,20)
OutputValues(0,2,25)
OutputValues(5,0,32)
OutputValues(3,1,40)
OutputValues(1,2,50)
OutputValues(6,0,64)
OutputValues(4,1,80)
OutputValues(2,2,100)
OutputValues(0,3,125)
OutputValues(7,0,128)
OutputValues(5,1,160)
OutputValues(3,2,200)
OutputValues(1,3,250)
OutputValues(8,0,256)