检查差异是否小于机器精度的正确/标准方法是什么？

我经常遇到必须检查所获得的差异是否超出机器精度的情况。为此，R似乎有一个方便的变量：.Machine$double.eps。但是，当我转向R源代码获取有关使用此值的准则时，会看到多种不同的模式。

例子

以下是stats库中的一些示例：

检验

if(stderr < 10 *.Machine$double.eps * abs(mx))

chisq.test

if(abs(sum(p)-1) > sqrt(.Machine$double.eps))

整合

rel.tol < max(50*.Machine$double.eps, 0.5e-28)

影响力

e[abs(e) < 100 * .Machine$double.eps * median(abs(e))] <- 0

PRINCOMR

if (any(ev[neg] < - 9 * .Machine$double.eps * ev[1L]))

等等

问题

1. 一个如何理解这些不同背后的理由10 *，100 *，50 *和sqrt()修饰？
2. 是否有关于.Machine$double.eps用于调整由于精度问题引起的差异的准则？

机器的精度double取决于其当前值。.Machine$double.eps给出值为1时的精度。您可以使用C函数nextAfter获取其他值的机器精度。

library(Rcpp)
cppFunction("double getPrec(double x) {
  return nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x;}")

(pr <- getPrec(1))
#[1] 2.220446e-16
1 + pr == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
1 + (pr/2 + getPrec(pr/2)) == 1
#[1] FALSE
1 + pr/2 + pr/2 == 1
#[1] TRUE
pr/2 + pr/2 + 1 == 1
#[1] FALSE

如果是机器精度的一半，则为a值增加值b不会改变。使用进行检查差异是否比机器精度小。修饰符可能会考虑典型情况，即添加项未显示更改的频率。ba<= <

在R中，可以通过以下方式估算机器精度：

getPrecR <- function(x) {
  y <- log2(pmax(.Machine$double.xmin, abs(x)))
  ifelse(x < 0 & floor(y) == y, 2^(y-1), 2^floor(y)) * .Machine$double.eps
}
getPrecR(1)
#[1] 2.220446e-16

每个double值代表一个范围。对于一个简单的加法，结果的范围取决于每个被加数的范围以及它们的和的范围。

library(Rcpp)
cppFunction("std::vector<double> getRange(double x) {return std::vector<double>{
   (nextafter(x, -std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.
 , (nextafter(x, std::numeric_limits<double>::infinity()) - x)/2.};}")

x <- 2^54 - 2
getRange(x)
#[1] -1  1
y <- 4.1
getRange(y)
#[1] -4.440892e-16  4.440892e-16
z <- x + y
getRange(z)
#[1] -2  2
z - x - y #Should be 0
#[1] 1.9

2^54 - 2.9 + 4.1 - (2^54 + 5.9) #Should be -4.7
#[1] 0
2^54 - 2.9 == 2^54 - 2      #Gain 0.9
2^54 - 2 + 4.1 == 2^54 + 4  #Gain 1.9
2^54 + 5.9 == 2^54 + 4      #Gain 1.9

对于更高的精度Rmpfr，可以使用。

library(Rmpfr)
mpfr("2", 1024L)^54 - 2.9 + 4.1 - (mpfr("2", 1024L)^54 + 5.9)
#[1] -4.700000000000000621724893790087662637233734130859375

如果可以将其转换为整数（gmp可以使用Rmpfr中的内容）。

library(gmp)
as.bigz("2")^54 * 10 - 29 + 41 - (as.bigz("2")^54 * 10 + 59)
#[1] -47

一个machine.eps的定义：它是最低值，  eps 为这  1+eps 不 1

作为一个经验法则（假设与基座2浮点表示）：
这eps使得用于..的范围内1 2的差，
对于范围2。4精度2*eps
等。

不幸的是，这里没有良好的经验法则。这完全取决于程序的需求。

在R中，我们将all.equal作为测试近似相等性的内置方式。因此，您可以使用类似(x<y) | all.equal(x,y）

i <- 0.1
 i <- i + 0.05
 i
if(isTRUE(all.equal(i, .15))) { #code was getting sloppy &went to multiple lines
    cat("i equals 0.15\n") 
} else {
    cat("i does not equal 0.15\n")
}
#i equals 0.15

Google模拟具有许多用于双精度比较的浮点匹配器，包括DoubleEq和DoubleNear。您可以像这样在数组匹配器中使用它们：

ASSERT_THAT(vec, ElementsAre(DoubleEq(0.1), DoubleEq(0.2)));

更新：

数值食谱提供了派生方法，可以证明使用单边差分商， sqrt是微分的有限差分近似的步长选择。

维基百科文章网站《数字食谱》第3版，第5.7节，第229-230页（可以从http://www.nrbook.com/empanel/获得有限的页面浏览量）。

all.equal(target, current,
           tolerance = .Machine$double.eps ^ 0.5, scale = NULL,
           ..., check.attributes = TRUE)

这些IEEE浮点运算是计算机运算的众所周知的局限性，并在以下几个地方进行了讨论：

• R中的FAQ有一个专门的问题：R FAQ 7.31
  • 帕特里克·伯恩斯（Patrick Burns）的R Inferno将第一个“圆圈”专用于此问题（第9页起）
  • 数学元中的算术和证明问题
  • 大卫·戈德堡，“什么每台计算机科学家应该知道浮点运算，” ACM计算概观 23，1（1991至1903年），5-48 DOI> 10.1145 / 103162.103163（修订版也可）
  • 浮点指南-每个程序员应了解的浮点算法
  • 0.30000000000000004.com比较各种编程语言中的浮点算法
• “浮点数不正确”的规范重复（有关此问题的规范答案的元讨论）
• 几个堆栈溢出问题，包括
  • 为什么十进制数字不能完全用二进制表示？
  • 为什么浮点数不正确？
  • 浮点数学运算是否被破坏？
• 数学技巧由Arthur T.Benjamin解释

。 dplyr::near()是测试浮点数的两个向量是否相等的另一种选择。

该功能具有内置的公差参数：tol = .Machine$double.eps^0.5可以调整。默认参数与的默认参数相同all.equal()。