使用Dijkstra算法的负权重

我试图理解为什么Dijkstra的算法不能在负权重下工作。阅读有关最短路径的示例，我试图找出以下情况：

    2
A-------B
 \     /
3 \   / -2
   \ /
    C

从网站：

假设所有边缘都是从左到右定向的，如果我们从A开始，Dijkstra的算法将选择使d（A，A）+ length（edge）最小的边缘（A，x），即（A，B）。然后设置d（A，B）= 2并选择另一个使d（A，y）+ d（y，C）最小的边（y，C）; 唯一的选择是（A，C），它设置d（A，C）= 3。但是，它永远找不到从A到B的最短路径，即C，总长度为1。

我不明白为什么使用下面的Dijkstra实现时，d [B]不会更新为1（当算法到达顶点C时，它将在B上运行放松，看到d [B]等于2，因此更新其值为1）。

Dijkstra(G, w, s)  {
   Initialize-Single-Source(G, s)
   S ← Ø
   Q ← V[G]//priority queue by d[v]
   while Q ≠ Ø do
      u ← Extract-Min(Q)
      S ← S U {u}
      for each vertex v in Adj[u] do
         Relax(u, v)
}

Initialize-Single-Source(G, s) {
   for each vertex v  V(G)
      d[v] ← ∞
      π[v] ← NIL
   d[s] ← 0
}

Relax(u, v) {
   //update only if we found a strictly shortest path
   if d[v] > d[u] + w(u,v) 
      d[v] ← d[u] + w(u,v)
      π[v] ← u
      Update(Q, v)
}

谢谢，

梅尔

您所建议的算法确实会在该图中找到最短路径，但通常不会找到所有图。例如，考虑以下图形：

假设您的示例中的边缘是从左到右，

您的算法将按以下方式工作：

1. 首先，将设置d(A)为zero，将其他距离设置为infinity。
2. 然后，展开了节点A，设置d(B)到1，d(C)到zero和d(D)到99。
3. 接下来，展开C，没有任何净变化。
4. 然后B，您展开，这没有效果。
5. 最后，展开D，将其更改d(B)为-201。

请注意，尽管到最后，这d(C)仍然是0，即使最短的路径C具有length -200。 因此，在某些情况下，您的算法无法准确计算距离。而且，即使您要存储返回指针，说明如何从每个节点到达起始节点A，也将结束从错误路径返回C到的错误A。

注意，如果图没有负循环，即权重总和小于零的循环，则Dijkstra甚至适用于负权重。

当然，可能会问，即使没有负循环，实际上没有循环，为什么在templatetypedef Dijkstra的示例中失败了。那是因为他使用的是另一个停止标准，一旦到达目标节点（或所有节点都已安定一次，他没有完全指定该标准），该标准就立即保留该算法。在没有负权重的图形中，这可以正常工作。

如果使用替代停止准则，则当优先级队列（堆）为空时将停止算法（此停止准则也在问题中使用），则dijkstra即使对于权重为负但没有负值的图也将找到正确的距离负循环。

但是，在这种情况下，对于没有负周期的图，dijkstra的渐近时间范围丢失了。这是因为当由于负权重而发现更好的距离时，可以将先前沉降的节点重新插入堆中。此属性称为标签校正。

您没有在算法的任何地方使用S（除了对其进行了修改）。dijkstra的想法是一旦顶点位于S上，就不会再对其进行修改。在这种情况下，一旦B在S内，您就不会再通过C到达它。

这个事实确保了O（E + VlogV）的复杂度[否则，您将重复边缘一次以上，而顶点重复一次以上]

换句话说，您发布的算法可能不像dijkstra的算法所承诺的那样在O（E + VlogV）中。

由于Dijkstra是贪婪方法，因此一旦将顶点标记为已访问此循环，即使以后再有一条成本较低的途径，也永远不会重新评估它。而且，只有当图形中存在负边缘时，才会发生这种问题。

一个贪心算法，顾名思义，总是让这似乎是在那一刻的最佳选择。假设您有一个目标函数，需要在给定点进行优化（最大化或最小化）。贪婪算法会在每个步骤中做出贪婪的选择，以确保优化目标函数。贪婪算法只有一次可以计算出最佳解决方案，因此它永远不会退缩并扭转决策。

TL; DR：答案取决于您的实现。对于您发布的伪代码，它具有负权重。

Dijkstra算法的变体

关键是Dijkstra算法有3种实现方式，但是这个问题下的所有答案都忽略了这些变体之间的差异。

1. 使用嵌套for循环放松顶点。这是实现Dijkstra算法的最简单方法。时间复杂度为O（V ^ 2）。
2. 基于优先级队列/堆的实现+不允许重入，其中重入意味着可以将松弛的顶点再次推入优先级队列，以便稍后再放松。
3. 基于优先级队列/堆的实现+允许重新进入。

版本1和版本2在权重为负的图形上将失败（如果您在这种情况下获得正确答案，那只是一个巧合），但是版本3仍然有效。

在原始问题下发布的伪代码是上面的版本3，因此它具有负权重。

这是算法（第4版）的一个很好的参考，它说（并包含上面提到的版本2和3的Java实现）：

问：Dijkstra的算法是否可以使用负权重？

答：是和否。有两种最短路径算法称为Dijkstra算法，具体取决于是否可以将一个顶点多次入队到优先级队列中。当权重为非负数时，这两个版本会重合（因为没有一个顶点会被多次排队）。在存在负边权重（但不包含负循环）的情况下，在DijkstraSP.java中实现的版本（允许顶点多次入队）是正确的，但在最坏的情况下其运行时间是指数的。（我们注意到，如果边缘加权的有向图的边的权重为负，则DijkstraSP.java会引发异常，这样程序员就不会对这种指数行为感到惊讶。）如果我们修改DijkstraSP.java使得顶点无法入队不止一次（例如，使用marked []数组标记那些已经放松的顶点），

有关更多实现细节以及版本3与Bellman-Ford算法的连接，请参见zhihu的答复。这也是我的答案（但中文）。目前，我没有时间将其翻译成英文。如果有人可以这样做并在stackoverflow上编辑此答案，我将非常感激。

考虑一下如果您在B和C之间来回走动会发生什么...瞧

（仅在图形未定向时相关）

编辑：我认为问题与以下事实有关：使用AC *的路径只能在存在负权重边缘的情况下优于AB，因此，假设非如果您选择负重边，一旦选择AC后到达B，就不可能找到比AB更好的路径。

“ 2）我们可以使用Dijksra算法为权重为负的图形提供最短路径吗？一个想法是，计算最小权重值，对所有权重添加一个正值（等于最小权重值的绝对值），并运行Dijksra算法修改后的图。此算法有效吗？”

除非所有最短的路径都具有相同的长度，否则这绝对是行不通的。例如，给定一条长度为两条边的最短路径，并在为每条边加上绝对值之后，总路径成本将增加2 * || max negative weight |。另一方面，另一条路径的长度为三个边缘，因此路径成本增加了3 * || max negative weight |。因此，所有不同的路径都会增加不同的数量。

您可以对不包含负循环的负边缘使用dijkstra算法，但必须允许顶点可以多次访问，而该版本将失去快速的时间复杂性。

在那种情况下，实际上我已经看到使用SPFA算法更好，该算法具有正常的队列并且可以处理负边缘。