(出于对这个“答案”的投票数,诚实和数学上的正直使我编辑了这个答案。我之所以推迟了尽可能长的时间,是因为这只是一个简短的讽刺,而不是任何“深入”的内容,因此请输入任何解释似乎都与目的相反。但是,评论清楚表明我应该清楚避免误解。)
我的原始答案:
规范这部分的措辞:
如果为0,我想将其设置为1,否则将其设置为0。
意味着最准确的解决方案是:
v = dirac_delta(0,v)
首先,告白:我确实使我的delta函数感到困惑。Kronecker增量本来应该更合适一些,但并不是我想要的与域无关的东西(Kronecker增量主要用于整数)并不足够。但是我真的不应该使用增量函数,我应该说:
v = characteristic_function({0},v)
让我澄清一下。回想一下,函数是一个三元组(X,Y,f),其中X和Y是集合(分别称为域和共域),而f是将Y的元素分配给X的每个元素的规则。我们通常将三元组(X,Y,f)写为f:X→Y。给定X的子集(例如A),存在一个特征函数,它是函数χ甲:X→{0,1}(也可以认为是更大的共域函数(例如ℕ或ℝ)的函数)。该函数由以下规则定义:
χ 甲(X)= 1如果X∈A和χ 甲(X)= 0,如果X∉甲。
如果您喜欢真值表,则它是问题“ X的元素x是子集A的元素吗?” 的真值表。
因此,从这个定义可以明显看出,这里需要特征函数,其中X包含0和A = {0}的某个大集合。那是我应该写的。
以此类推。为此,我们需要了解集成。您要么已经知道,要么不知道。如果您不这样做,那么我在这里什么也不能告诉您理论的复杂性,但是我可以给您一个句子的摘要。本质上,对集合X的度量是“使平均值起作用所需的度量 ”。这就是说,如果我们有一组X和措施μ上设置,那么有一类的功能X→ℝ,呼吁测函数该表达式∫ X ˚Fdμ是有道理的,并且,在一些模糊的感觉,f在X上的“平均值” 。
给定一个集合上的度量,就可以为该集合的子集定义一个“度量”。这是通过向子集分配其特征函数的积分来完成的(假定这是可测量的函数)。这可以是无限的,也可以是不确定的(两者有细微的差别)。
周围有很多措施,但是这里有两项很重要。一种是实线上的标准度量standard。对于这一措施,那么∫ ℝ ˚Fdμ是相当多你得到在学校任教(微积分是在学校还是教授):总结小矩形,并采取小的宽度。在此度量中,间隔的度量是其宽度。点的度量为0。
适用于任何集合的另一个重要度量称为点度量。定义函数的积分是其值的总和:
∫ X ˚Fdμ=Σ X∈X F(X)
此度量将度量1分配给每个单例集。这意味着,当且仅当子集本身是有限的时,子集才具有有限度量。很少有函数具有有限积分。如果函数具有有限积分,则仅在可数的点上它必须为非零。因此,在这种情况下,您可能知道的绝大多数功能都没有有限积分。
现在到增量功能。让我们进行非常广泛的定义。我们有一个可测量的空间(X,μ)(所以这是一个带有度量的集合)和一个元素a∈X。我们以“限定的” δ函数(取决于一)为“功能” δ 一个:X→ℝ与属性,δ 一个(X)= 0,如果X≠一个和∫ X δ 一个 dμ= 1。
关于此的最重要的事实是:delta函数不必是function。这是不正确的定义:我没有说什么δ 一(一)是。
此时您要做什么取决于您是谁。这里的世界分为两类。如果您是数学家,请说以下内容:
好的,因此可能未定义delta函数。让我们来看看它的假设性,看看我们是否能够找到合适的住所为它在那里它被定义。我们可以做到这一点,最后得到分布。这些不是(不一定)函数,而是行为类似于函数的事物,通常我们可以像对待函数一样使用它们。但是有些东西是它们所没有的(例如“值”),因此我们需要小心。
如果您不是数学家,请说以下内容:
好的,因此可能未正确定义增量功能。谁这么说 一堆数学家?别管他们!他们知道什么?
现在冒犯了我的听众,我将继续。
的狄拉克δ通常取为与它的标准度量实线上的点(通常0)的δ函数。因此,那些在评论中抱怨我的人不知道我的三角洲正在这样做,因为他们正在使用此定义。对于他们,我深表歉意:尽管我可以通过使用数学家的防御方法来避免这种情况(由Humpty Dumpty推广:只需重新定义所有内容,使其正确无误),但使用标准术语来表示不同的含义是一种不好的形式。
但是,是它确实做我想做的事情,它是我在这里需要一个δ函数。如果我采取点措施上的一组X则是一个真正的函数δ 一个:X→ℝ其满足用于delta函数的标准。这是因为我们正在寻找一个函数X→ℝ,它在a处除外,并且所有值的总和为1。该函数很简单:唯一丢失的信息是它在a处的值,并且要使总和为1,我们只需为其分配值1。这就是{a}上的特征函数。然后:
∫ X δ 一个 dμ=Σ 的x∈X δ 一个(X)=δ 一个(A)= 1。
因此,在这种情况下,对于单例集,特征函数和增量函数一致。
总之,这里有三个“功能”家族:
- 单例集的特征函数,
- 增量功能
- Kronecker增量功能。
其中第二个是最通用的,因为其他任何一个都是使用点测度时的一个示例。但是第一个和第三个具有的优点是它们始终是真正的功能。第三个实际上是第一个的特殊情况,对于特定的域家族(整数或它们的某个子集)。
所以,最后,当我最初写出答案时,我并没有正确地思考(我不会说我很困惑,因为我希望我已经证明我确实知道我在说什么实际上,我首先想到的是,我只是想的不多。狄拉克三角洲的通常含义是不是在这里想要的,但我的答案的要点之一是,输入域是没有定义,因此Kronecker符号也将不会是正确的。因此,最好的数学答案(我的目标是)是特征函数。
我希望一切都清楚;而且我也希望我不必再使用HTML实体而不是TeX宏来编写数学文章!