应用程序组成，单子不组成

应用程序组成，单子程序不组成。

以上陈述是什么意思？什么时候比另一个更好？

如果我们比较类型

(<*>) :: Applicative a => a (s -> t) -> a s -> a t
(>>=) :: Monad m =>       m s -> (s -> m t) -> m t

我们获得了将这两个概念区分开的线索。中的那个表示(s -> m t)in (>>=)中的值s可以确定in 中的计算行为m t。Monad允许值和计算层之间的干扰。该(<*>)运营商允许没有这样的干扰：功能和参数的计算不依赖于价值。真的好咬人 比较

miffy :: Monad m => m Bool -> m x -> m x -> m x
miffy mb mt mf = do
  b <- mb
  if b then mt else mf

它使用某种效果的结果在两次计算之间做出决定（例如，发射导弹和签署停战协议），而

iffy :: Applicative a => a Bool -> a x -> a x -> a x
iffy ab at af = pure cond <*> ab <*> at <*> af where
  cond b t f = if b then t else f

它使用的值ab在两个计算值at和之间进行选择af，也许已经执行了这两个操作，但这可能是悲剧性的结果。

monadic版本本质上依赖(>>=)从值中选择计算的额外能力，这可能很重要。但是，支持这种能力会使单子难以组成。如果我们尝试建立“双绑定”

(>>>>==) :: (Monad m, Monad n) => m (n s) -> (s -> m (n t)) -> m (n t)
mns >>>>== f = mns >>-{-m-} \ ns -> let nmnt = ns >>= (return . f) in ???

我们已经走了很远，但是现在我们的图层都混乱了。我们有一个n (m (n t))，所以我们需要摆脱外部n。正如Alexandre C所说，只要有合适的人选，我们就能做到

swap :: n (m t) -> m (n t)

以排列在n向内和join它的其他n。

较弱的“双重申请”更容易定义

(<<**>>) :: (Applicative a, Applicative b) => a (b (s -> t)) -> a (b s) -> a (b t)
abf <<**>> abs = pure (<*>) <*> abf <*> abs

因为各层之间没有干扰。

相应地，最好识别出何时确实需要Monads 的额外能力，以及何时可以摆脱所Applicative支持的刚性计算结构。

请注意，顺便说一下，尽管合成单子很困难，但可能超出了您的需求。该类型m (n v)表示使用m-effects 计算，然后使用n-effects 计算为-value v，其中m-effects在n-effects开始之前完成（因此需要swap）。如果您只是想让m-effects与n-effects 交错，那么组合可能就太多了！

应用程序组成，单子程序不组成。

Monad 确实可以合成，但是结果可能不是Monad 。相反，两个应用程序的组成必然是一个应用程序。我怀疑原始陈述的意图是“适用性构成，而单子性不构成”。改写为“ Applicative根据构成是封闭的，而Monad不是封闭的”。

如果您有A1和A2，那么类型data A3 a = A3 (A1 (A2 a))也可以（您可以以通用方式编写这样的实例）。

另一方面，如果您有monad M1，M2则类型data M3 a = M3 (M1 (M2 a))不一定是monad（对于该组合>>=或join该组合没有明智的通用实现）。

一个例子可以是类型[Int -> a]（在这里我们撰写类型构造[]与(->) Int，这两者都是单子）。您可以轻松编写

app :: [Int -> (a -> b)] -> [Int -> a] -> [Int -> b]
app f x = (<*>) <$> f <*> x

这可以推广到任何应用程序：

app :: (Applicative f, Applicative f1) => f (f1 (a -> b)) -> f (f1 a) -> f (f1 b)

但是没有明智的定义

join :: [Int -> [Int -> a]] -> [Int -> a]

如果您对此不满意，请考虑以下表达式：

join [\x -> replicate x (const ())]

在提供整数之前，必须以石头设置返回列表的长度，但是正确的长度取决于所提供的整数。因此，join此类型不能存在正确的功能。

不幸的是，我们真正的目标，即单子的构成，要困难得多。..实际上，实际上，我们可以证明，从某种意义上讲，没有办法仅使用两个monad的操作来构造具有上述类型的join函数（请参见附录中的证明概述）。因此，我们可能希望形成构图的唯一方法是，如果有一些附加的结构将这两个组件联系起来。

撰写monad，http： //web.cecs.pdx.edu/~mpj/pubs/RR-1004.pdf

分配法解l：MN-> NM足够

保证NM的唯一性 要看到这个，您需要一个单位和一个多人。我将重点关注多位（单位为unit_N unitM）

NMNM - l -> NNMM - mult_N mult_M -> NM

这不能保证MN是monad。

但是，当您有了分配法解决方案时，至关重要的观察就会发挥作用

l1 : ML -> LM
l2 : NL -> LN
l3 : NM -> MN

因此，LM，LN和MN是单子。出现的问题是LMN是否为单子（

（MN）L-> L（MN）或N（LM）->（LM）N

我们有足够的结构来制作这些地图。但是，正如Eugenia Cheng所观察到的那样，我们需要一个六边形条件（相当于Yang-Baxter方程的表示形式），以保证这两种结构的均一性。实际上，在六角形条件下，两个不同的单子重合。