我有一棵结构良好的树，代表数学表达式。例如，给定字符串："1+2-3*4/5"，它将解析为：
subtract(add(1,2),divide(multiply(3,4),5))
表示为这棵树：
我想做的就是拿这棵树并尽可能减少它。在上述情况下，这非常简单，因为所有数字都是常量。但是，一旦我允许未知数（以一个$后跟一个标识符表示），事情就会变得更加棘手：
"3*$a/$a" 变成 divide(multiply(3,$a), $a)
这应该简化为3，因为这些$a条款应该相互抵消。问题是，“我该如何以一种通用的方式来认识这一点？” 我怎么知道那min(3, sin($x))将永远是sin($x)？我怎么知道那sqrt(pow($a, 2))是abs($a)？我如何识别nthroot(pow(42, $a), $a)（第a次方为42的a次方）是42？
我知道这个问题涉及面很广，但是我已经对此提出质疑了很长时间，而且还没有提出令人满意的建议。
3，这是为什么我还没有想到一个好的答案的一个示例（经过编辑的问题可以反映出来）。:)
3a/a与相同，3因为时3a/a未定义a=0。
Answers:
您可能想要实现术语重写系统。关于基础数学，请看WikiPedia。
术语重写模块的结构
自从我最近实施解决方案以来...
首先，准备一个CExpression类，该类对表达式的结构进行建模。
Implement CRule，其中包含一个模式和一个替换。使用特殊符号作为模式变量，在模式匹配期间需要绑定特殊符号，并在替换表达式中将其替换。
然后，实现一个class CRule。它的主要方法是applyRule(CExpression, CRule)尝试将规则与任何适用的表达式子表达式进行匹配。如果匹配，则返回结果。
最后，实现一个class CRuleSet，它只是一组CRule对象。main方法reduce(CExpression)将应用规则集，只要不能再应用其他规则，然后返回简化的表达式即可。
另外，您需要一个class CBindingEnvironment，它将已经匹配的符号映射到匹配的值。
尝试将表达式重写为普通形式
别忘了，这种方法在一定程度上可行，但可能并不完整。这是由于以下所有规则均执行本地术语重写。
为了使这种局部重写逻辑更强大，应该尝试将表达式转换为我称之为普通形式的某种形式。这是我的方法：
如果术语包含文字值，请尝试将术语尽可能向右移动。
最终，此文字值可能会出现在最右边，并且可以作为完整文字表达式的一部分进行评估。
何时评估完全文字表达
一个有趣的问题是何时评估完全文字表达。假设您有一个表达式
x * ( 1 / 3 )
这将减少到
x * 0.333333333333333333
现在假设x被3代替。这将产生类似
0.999999999999999999999999
因此，急切的评估会返回一个略有错误的值。
另一方面，如果您保留（1/3）并首先将x替换为3
3 * ( 1 / 3 )
重写规则将给
1
因此，稍后评估完全文字表达可能会很有用。
重写规则示例
这是我的规则在应用程序中的显示方式：_1，_2，...符号与任何子表达式匹配：
addRule( new TARuleFromString( '0+_1', // left hand side :: pattern
'_1' // right hand side :: replacement
)
);
或更复杂
addRule( new TARuleFromString( '_1+_2*_1',
'(1+_2)*_1'
)
);
某些特殊符号仅与特殊子表达式匹配。例如_Literal1，_Literal2，...仅匹配文字值：
addRule( new TARuleFromString( 'exp(_Literal1) * exp(_Literal2 )',
'exp( _Literal1 + _Literal2 )'
)
);
此规则将非文字表达向左移动：
addRule( new TARuleFromString( '_Literal*_NonLiteral',
'_NonLiteral*_Literal'
)
);
以“ _”开头的任何名称都是模式变量。当系统匹配规则时，它会保留一堆已经匹配的符号分配。
最后，别忘了规则可能会产生不间断的替换序列。因此，在减少表达式的同时，使过程记住以前已经到达的中间表达式。
在我的实现中，我不会直接保存中间表达式。我保留了中间表达式的MD5（）哈希数组。
一组规则作为起点
这是一组入门规则：
addRule( new TARuleFromString( '0+_1', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal2=0-_1', '_1=0-_Literal2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1+0', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '1*_1', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1*1', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1+_1', '2*_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1-_1', '0' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1/_1', '1' ) );
// Rate = (pow((EndValue / BeginValue), (1 / (EndYear - BeginYear)))-1) * 100
addRule( new TARuleFromString( 'exp(_Literal1) * exp(_Literal2 )', 'exp( _Literal1 + _Literal2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'exp( 0 )', '1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow(_Literal1,_1) * pow(_Literal2,_1)', 'pow(_Literal1 * _Literal2,_1)' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( _1, 0 )', '1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( _1, 1 )', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( _1, -1 )', '1/_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( pow( _1, _Literal1 ), _Literal2 )', 'pow( _1, _Literal1 * _Literal2 )' ) );
// addRule( new TARuleFromString( 'pow( _Literal1, _1 )', 'ln(_1) / ln(_Literal1)' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_literal1 = pow( _Literal2, _1 )', '_1 = ln(_literal1) / ln(_Literal2)' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( _Literal2, _1 ) = _literal1 ', '_1 = ln(_literal1) / ln(_Literal2)' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( _1, _Literal2 ) = _literal1 ', 'pow( _literal1, 1 / _Literal2 ) = _1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'pow( 1, _1 )', '1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1 * _1 = _literal', '_1 = sqrt( _literal )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'sqrt( _literal * _1 )', 'sqrt( _literal ) * sqrt( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'ln( _Literal1 * _2 )', 'ln( _Literal1 ) + ln( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'ln( _1 * _Literal2 )', 'ln( _Literal2 ) + ln( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log2( _Literal1 * _2 )', 'log2( _Literal1 ) + log2( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log2( _1 * _Literal2 )', 'log2( _Literal2 ) + log2( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log10( _Literal1 * _2 )', 'log10( _Literal1 ) + log10( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log10( _1 * _Literal2 )', 'log10( _Literal2 ) + log10( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'ln( _Literal1 / _2 )', 'ln( _Literal1 ) - ln( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'ln( _1 / _Literal2 )', 'ln( _Literal2 ) - ln( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log2( _Literal1 / _2 )', 'log2( _Literal1 ) - log2( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log2( _1 / _Literal2 )', 'log2( _Literal2 ) - log2( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log10( _Literal1 / _2 )', 'log10( _Literal1 ) - log10( _2 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'log10( _1 / _Literal2 )', 'log10( _Literal2 ) - log10( _1 )' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = _NonLiteral + _Literal2', '_Literal1 - _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = _NonLiteral * _Literal2', '_Literal1 / _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = _NonLiteral / _Literal2', '_Literal1 * _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 =_NonLiteral - _Literal2', '_Literal1 + _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_NonLiteral + _Literal2 = _Literal1 ', '_Literal1 - _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_NonLiteral * _Literal2 = _Literal1 ', '_Literal1 / _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_NonLiteral / _Literal2 = _Literal1 ', '_Literal1 * _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_NonLiteral - _Literal2 = _Literal1', '_Literal1 + _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_NonLiteral - _Literal2 = _Literal1 ', '_Literal1 + _Literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal2 - _NonLiteral = _Literal1 ', '_Literal2 - _Literal1 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = sin( _NonLiteral )', 'asin( _Literal1 ) = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = cos( _NonLiteral )', 'acos( _Literal1 ) = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = tan( _NonLiteral )', 'atan( _Literal1 ) = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = ln( _1 )', 'exp( _Literal1 ) = _1' ) );
addRule( new TARuleFromString( 'ln( _1 ) = _Literal1', 'exp( _Literal1 ) = _1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1 = _NonLiteral', '_NonLiteral = _Literal1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '( _Literal1 / _2 ) = _Literal2', '_Literal1 / _Literal2 = _2 ' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal*_NonLiteral', '_NonLiteral*_Literal' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal+_NonLiteral', '_NonLiteral+_Literal' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1+(_Literal2+_NonLiteral)', '_NonLiteral+(_Literal1+_Literal2)' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_Literal1+(_Literal2+_1)', '_1+(_Literal1+_Literal2)' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_1*_2)+(_3*_2)', '(_1+_3)*_2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_2*_1)+(_2*_3)', '(_1+_3)*_2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_2*_1)+(_3*_2)', '(_1+_3)*_2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_1*_2)+(_2*_3)', '(_1+_3)*_2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_Literal * _1 ) / _Literal', '_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_Literal1 * _1 ) / _Literal2', '(_Literal1 * _Literal2 ) / _1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_1+_2)+_3', '_1+(_2+_3)' ) );
addRule( new TARuleFromString( '(_1*_2)*_3', '_1*(_2*_3)' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1+(_1+_2)', '(2*_1)+_2' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_1+_2*_1', '(1+_2)*_1' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_literal1 * _NonLiteral = _literal2', '_literal2 / _literal1 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_literal1 + _NonLiteral = _literal2', '_literal2 - _literal1 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_literal1 - _NonLiteral = _literal2', '_literal1 - _literal2 = _NonLiteral' ) );
addRule( new TARuleFromString( '_literal1 / _NonLiteral = _literal2', '_literal1 * _literal2 = _NonLiteral' ) );
使规则成为一流的表达式
有趣的一点：由于上述规则是特殊表达式，可以由表达式解析器正确评估，因此用户甚至可以添加新规则，从而增强应用程序的重写功能。
解析表达式（或更通用的语言）
对于Cocoa / OBjC应用程序，Dave DeLong的DDMathParser是语法分析数学表达式的理想选择。
对于其他语言，我们的老朋友Lex＆Yacc或较新的GNU Bison可能会有所帮助。
ANTLR很年轻，并且拥有大量可立即使用的语法文件，是基于Java的现代解析器生成器。除了纯粹的命令行使用之外，ANTLRWorks还提供了一个GUI前端 来构造和调试基于ANTLR的解析器。ANTLR为各种宿主语言（如JAVA，C，Python，PHP或C＃）生成语法。目前，ActionScript运行时已损坏。
如果您想自下而上地学习如何解析表达式（或一般语言），我建议这本免费书籍的文字来自著名的Pascal和Modula发明家Niklaus Wirth（或德语版） -2。
=操作员打交道，但这给了我很多建议。除非出现更好的情况，否则我将其标记为正确。
该任务可能变得非常复杂（除了最简单的转换之外）。本质上，这就是代数软件一直在做的事情。
您可以找到一个可读的介绍，例如Mathematica的完成方式（基于规则的评估）。
相信您必须“蛮力”砍伐这些树木。
您将必须制定一些规则来描述可能的简化。然后，您就可以遍历这棵树并搜索适用的规则。由于某些简化方法可能会导致比其他方法更简单的结果，因此您必须执行与在地铁计划中查找最短路线相同的操作：尝试所有可能性，并按某些质量标准对结果进行排序。
由于这种情况的数量是有限的，因此您可以通过尝试运算符和变量的所有组合来自动发现简化规则，并再次使用遗传算法来验证以前未找到该规则，并且实际上简化了输入。
乘法可以表示为加法，因此一个规则可能是a-a自行抵消：2a-a = a + aa
另一个规则是首先将所有除法相乘，因为它们是分数。例：
1/2 + 3/4发现所有除法，然后将每个分数与所有其他分数两侧的除数相乘
4/8 + 6/8然后所有元素都具有相同的除数，因此可以统一为（4 + 6）/ 8 = 10/8
最后，您发现顶部和底部5/4之间的最高公约数
应用于您的树时，策略是从下叶向上进行工作，首先将乘法转换为加法，从而简化了每个乘法。然后像分数一样简化每个加法
一直以来，您都将再次检查您的快捷方式规则以发现这种简化。要知道规则适用，您可能必须尝试子树的所有排列。例如，aa规则也适用于-a + a。可能会有a + ba。
只是一些想法，希望能给您一些想法...
sqrt(pow(-3, 2))呢？