平衡树的定义

我只是想知道是否有人可以为我澄清一棵平衡树的定义。我认为“如果每个子树都平衡并且两个子树的高度最多相差一棵，则树是平衡的。

如果这是一个愚蠢的问题，我深表歉意，但是这个定义是否适用于每个节点，一直到树的叶子，或者仅适用于紧接根部的左右子树？我猜想另一种构架方式是，一棵树的内部节点是否可能不平衡，而整个树是否仍保持平衡？

通常将约束以递归方式应用于每个子树。也就是说，仅在以下情况下树是平衡的：

1. 左右子树的高度最多相差一，并且
2. 左子树是平衡的，并且
3. 正确的子树是平衡的

据此，下一棵树是平衡的：

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G  

下一个是不是平衡，因为C的子树2在其高度的不同：

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G  

也就是说，第一点的具体约束取决于树的类型。上面列出的是AVL树的典型代表。

例如，红黑树施加了较弱的约束。

有几种定义“平衡”的方法。主要目标是使所有节点的深度保持为O(log(n))。

在我看来，您所讨论的平衡条件适用于AVL树。
这是AVL树的平衡条件的正式定义：

对于AVL中的任何节点，其左子树的高度与其右子树的高度最多相差1。

下一个问题，什么是“ 身高 ”？

二叉树中节点的“ 高度 ”是从该节点到叶子的最长路径的长度。

有一种奇怪但常见的情况：

人们将空树的高度定义为(-1)。

例如，root的左孩子是null：

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

还有两个例子可以确定：

是的，一个平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

不，不是平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)      

这两件事没有区别。想一想。

让我们做一个更简单的定义：“一个正数是偶数，即使它是零或该数减去二是偶数。” 这是说8等于6还是偶数？还是说8、6、4、2和0是偶数？

没有区别 如果说8即使6是偶数，也说6即使4是偶数。因此，即使2是偶数，也说4是偶数。因此，即使0为偶数，也表示2为偶数。因此，如果说8等于6是偶数，则（间接地）说8等于6、4、2和0是偶数。

这是同一件事。任何间接子树都可以通过一系列直接子树找到。因此，即使仅直接应用于直接子树，也仍然间接应用于所有子树（因此也包括所有节点）。

平衡树是高度为log（树中元素数）的树。

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

给出的定义是“一棵树是平衡的，每个子树是平衡的，并且两个子树的高度最多相差一个”，后面是AVL树。

由于AVL树是平衡树，但并非所有平衡树都是AVL树，因此平衡树不具有此定义，并且内部节点可能不平衡。但是，AVL树要求平衡所有内部节点。

平衡树的目的是以最小的遍历（最小高度）到达叶子。树的程度是分支数减去1。平衡树可能不是二叉树。

1. 树中节点的高度是从该节点向下到叶子的最长路径的长度，同时计算路径的起点和终点。
2. 如果树中子节点的高度相差不超过1，则该节点是高度平衡的。
3. 如果树的所有节点都是高度平衡的，则该树是高度平衡的。