Max-Heapify中最坏的情况-如何获得2n / 3？

Question 1

在CLRS，第三版，第155页中，假定在MAX-HEAPIFY中，

子树的每个子树的大小最大为2n / 3-最坏的情况是树的底部恰好是一半满了。

我知道为什么当树的底部恰好是一半满时最糟糕。在此问题中还回答了MAX-HEAPIFY中的最坏情况：“最坏情况发生在树的底部恰好是一半满时”

我的问题是如何获得2n / 3？

为什么如果底层为半满，则子树的大小最大为2n / 3？

如何计算？

谢谢

Question 2

在每个节点上恰好有0或2个子节点的树中，具有0个子节点的节点数比具有2个子节点的节点数多1。{说明：高度为h的节点数为2 ^ h，几何级数的求和公式等于（从0到h-1的节点总和）+1；并且从高度0到h-1的所有节点都是恰好具有2个子节点的节点}

    ROOT
  L      R
 / \    / \
/   \  /   \
-----  -----
*****

令k为R中的节点数。L中的节点数为k +（k + 1）= 2k +1。节点总数为n = 1 +（2k + 1）+ k = 3k + 2 （根加L加R）。比率为（2k +1）/（3k + 2），在上方以2/3限定。常数不能小于2/3，因为当k达到无穷大时的极限是2/3。

Question 3

Understand the maximum number of elements in a subtree happens for the left subtree of a tree that has the last level half full.Draw this on a piece of paper to realize this.

一旦清楚了，就很容易获得2N / 3的范围。

让我们假设树中的节点总数为N。

树中的节点数= 1 +（左子树中的节点数）+（右子树中的节点数）

对于我们的树，其最后一级为半满的情况，假设我们右子树的高度为h，然后左子树的高度为（h + 1）：

左子树中的节点数= 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^（h + 1）= 2 ^（h + 2）-1 .....（i）

右子树中的节点数= 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^（h）= 2 ^（h + 1）-1 .....（ii）

因此，插入：

树中的节点数= 1 +（左子树中的节点数）+（右子树中的节点数）

=> N = 1 + (2^(h+2)-1) + (2^(h+1)-1)

=> N = 1 + 3*(2^(h+1)) - 2

=> N = 3*(2^(h+1)) -1

=> 2^(h+1) = (N + 1)/3

将这个值代入方程式（i），我们得到：

Number of nodes in Left Subtree = 2^(h+2)-1 = 2*(N+1)/3 -1 =(2N-1)/3 < (2N/3)

因此，对于具有N个节点的树，子树中最大节点数的上限为2N / 3。

Question 4

对于高度的完整二叉树h，节点数为f(h) = 2^h - 1。在以上情况下，我们有几乎完整的二叉树，下半部分已满。我们可以将其可视化为的集合root + left complete tree + right complete tree。如果原始树的高度为h，则left的高度为h - 1and right为h - 2。所以等式变成

n = 1 + f(h-1) + f(h-2) （1）

我们要解决以上f(h-1)表示为n

f(h-2) = 2^(h-2) - 1 = (2^(h-1)-1+1)/2 - 1 = (f(h-1) - 1)/2 （2）

在上面的（1）中使用

n = 1 + f(h-1) + (f(h-1) - 1)/2 = 1/2 + 3*f(h-1)/2

=> f(h-1) = 2*(n-1/2)/3

因此，O（2n / 3）

Question 5

为了增加斯文的答案。当k趋于无穷大时（2k +1）/（3k + 2）趋于2/3

Lim_（k-> inf）（2k +1）/（3k + 2）= Lim_（k-> inf）k（2 +1 / k）/ k（3 + 2 / k）= Lim_（k-> inf ）（2 + 1 / k）/（3 + 2 / k）

应用限制，您将获得2/3

Question 6

节点数-

级别0，即root是2 ^ 0
1级是2 ^ 1
2级是2 ^ 2
...
级别n为2 ^ n

从0级到n级的所有节点的求和，

S = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^ n

根据几何级数求和规则，我们知道

x ^ 0 + x ^ 1 + x ^ 2 + ... + x ^（n）=（x ^（n + 1）-1）/（x-1）

代入x = 2，我们得到

S = 2 ^（n + 1）-1.即2 ^（n + 1）= S + 1

由于2 ^（n + 1）是第n + 1级的总节点，因此可以说，具有0个孩子的节点数量比具有2个孩子的节点数量多1个。

现在让我们计算左子树，右树和总数中的节点数。

假定根的左子树中的非叶节点数= k。
通过上述推理，左边的子树或根中的叶子节点数= k +1。由于树正好是半满，因此根的右子树中的非叶子节点数= k。
根的左子树中的节点总数= k + k + 1 = 2k +
树中节点的总数，n =（2k +1）+ k +1 = 3k + 2。
左子树中的节点数与总节点数之比=（2k +1）/（3k + 2），其上界为2/3。

这就是说孩子的子树的大小最大为2n / 3的原因。