通用量子门（CNOT，H，Z，X和π/ 8）的“通用性”的数学依据是什么？

在这个答案中，我提到了CNOT，H，X，Z和门形成一个通用门集，只要有足够数量的门，它就可以任意接近于复制任何单位量子门（我知道这一点）事实由Umesh Vazirani教授的EdX讲座提供）。但是，对此有任何数学依据吗？应该有！我尝试搜索相关论文，但找不到很多。$\pi/8$

您提到的答案参考了Michael Nielsen和Isaac Chuang的著作《量子计算和量子信息》（剑桥大学出版社），该书确实证明了这些门的普遍性。（在我的2000年版中，可以在第194页上找到。）主要的见解是门（或π / 8门）与H门一起在Bloch球上产生两个不同的旋转，其角度分别为不合理的倍数2 π。这允许T门和H门的组合密集地填充Bloch球的表面，从而近似任何一个1比特的ary算子。$T$$\pi/8$$H$$2\pi$$T$$H$

$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

如Barenco 等人所示，将CNOT门组合在一起可以近似一个任意的多量子位aries 。在物理 Rev.A 52 3457（1995）。（本文的预印本可在https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016上找到。）Nielsen和Chuang也对此进行了讨论（2000年版，第191页）。

$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

$\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$