如果量子门是可逆的，它们怎么可能执行不可逆的经典“与”或“或”运算？

量子门据说是单一的和可逆的。但是，经典的门可能是不可逆的，就像逻辑与门和逻辑或门一样。那么，如何使用量子门为不可逆的经典AND和OR门建模呢？

quantum-gate unitarity

— Sanchayan Dutta
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假设我们有一个函数，它将位映射到位（其中）。 $f$ $n$ $m$ $m<n$

f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}^{m}

$f: \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{m}$

我们当然可以设计一个经典电路来执行此操作。我们称它为。它接受位作为输入。假设它将作为输入，并输出。 $C_f$ $n$ $X$ $f(X)$

现在，我们想使用量子电路做同样的事情。我们称它为，它以为输入输出。现在请记住，由于量子力学是线性的，因此输入的量子位当然可以与所有位字符串叠加。因此，输入可以是在一些状态。由线性输出将是 $U_f$ $|X\rangle$ $|f(X)\rangle$ $n$ $\sum_{X\in\{0,1\}^{n}}\alpha_X|X\rangle$ 。 $\sum_{X\in\{0,1\}^{n}}\alpha_X|f(X)\rangle$

量子力学的发展是统一的。而且因为它是单一的，所以是可逆的。这基本上意味着，如果你申请一个量子门上的输入状态并得到一个输出状态，您可以随时申请逆门找回状态。 $U$ $|x\rangle$ $U|x\rangle$ $U^{\dagger}$ $|x\rangle$

请注意，在上图中，请注意，每一步的输入线数（即6条）与输出线数完全相同。这是因为操作的统一性。与此相比，像经典的操作逻辑与其中给出了一个单比特输出。不能重构初始比特和从输出，因为即使和会映射到相同的输出。但是，请考虑经典的NOT门。如果输入为则输出，而如果输入为 $0\wedge1$ $0$ $0$ $1$ $0\wedge 0$ $1\wedge0$ $0$ $0$ $1$ 它输出。由于此映射是一对一的，因此可以轻松地将其实现为可逆单一门，即Pauli-X门。但是，要实现经典的“或”门或经典的“或”门，我们需要多加考虑。 $1$ $0$

考虑一下CSWAP门。这是显示该方案的示意图：

在SWAP门中，取决于控制位，我们另外两个可能会或可能不会被交换。注意，有三条输入线和三条输出线。因此，可以将其建模为单一量子门。现在，如果：如果，则输出为，而如果，则输出。 $z=0$ $x=0$ $0$ $x=1$ $y$

如果您发现，如果，我们输出而如果，我们是输出。因此，我们可以成功地产生输出这是我们想要的，虽然我们结束了一些“垃圾”输出和。一个有趣的事实是CSWAP门的反面是CSWAP门本身（检查！）。 $x=0$ $\bar{x}\wedge y$ $x=1$ $x\wedge y$ $x\wedge y$ $\bar{x}\wedge y$ $x$

就这样！请记住，所有经典门都可以使用“ 与非”门构建，“ 与非”门当然可以构建为“与”门和“非”门。我们使用可逆量子门对经典的非门和经典的与门进行了有效建模。为了安全起见，我们还可以将qauntum CNOT门添加到我们的列表中，因为使用CNOT可以复制位。

因此，基本信息是使用量子CSWAP，CNOT和NOT门，我们可以复制任何经典门。顺便说一句，有一个巧妙的技巧可以消除使用量子门时产生的“垃圾”位，但这是另一回事了。

PS：除去“垃圾”位非常重要，否则它们会导致计算错误！

参考文献和图片来源：加州大学伯克利分校在edX上提供的量子力学和量子计算MOOC。

— Sanchayan Dutta
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即使没有通过NAND门绕行，您也可以使用辅助系统使任何门成为一体，对吗？

— M. Stern，

@ M.Stern是的，这里已经讨论过了。:)

— Sanchayan Dutta