门如何在连续变量量子计算机中实现？

我主要从事超导量子计算机的工作，我对光子量子计算机的实验细节并不十分熟悉，这些细节使用光子来创建连续变量的簇状态，例如加拿大初创公司Xanadu正在建造的状态。在这些类型的量子计算机中如何实现门操作？在这种情况下设置的通用量子门是什么？

蒂姆·拉尔夫（Tim Ralph）在arxiv.org/abs/1103.6071

— M. Stern，

服用在（福克）空间-模式简谐振荡器（SHO），其中是模式SHO的Hilbert空间。 $n$ $\mathcal F = \bigotimes_k\mathcal H_k$ $\mathcal H_k$ $k$

这让平时湮没操作，作用于一些国家作为 $a_k$ 为和和模式的产生算符作为，作用于一些状态作为 $a_k\left|n\right> = \sqrt n\left|n-1\right>$ $n\geq 1$ $a_k\left|0\right> = 0$ $k$ $a_k^\dagger$ 。 $a_k^\dagger\left|n\right> = \sqrt{n+1}\left|n+1\right>$

SHO的哈密顿量为（以为单位）。 $H = \omega\left(a_k^\dagger a_k+\frac 12\right)$ $\hbar = 1$

然后我们可以定义正交

X_{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} (a_{k} + a_{k}^{†})

$X_k = \frac{1}{\sqrt 2}\left(a_k + a_k^\dagger\right)$

是可观察的。此时，可以执行各种操作（汉密尔顿）。在求积这样的操作的效果可通过使用操作人员的时间演变中找到

作为

。应用这些时间

给出：

P_{k} = - \frac{i}{\sqrt{2}} (a_{k} - a_{k}^{†})

$P_k = -\frac{i}{\sqrt 2}\left(a_k - a_k^\dagger\right)$

A

$A$

\dot{A} = i [H, A]

$\dot A = i\left[H, A\right]$

t

$t$

X : P \mapsto P - t

$X:P\mapsto P-t$

P : X \mapsto X + t

$P:X\mapsto X+t$

其为具有SHO的只是哈密顿

，并给出了相移。

\frac{1}{2} (X^{2} + P^{2}) : X \mapsto \cos t X - \sin t P, P \mapsto \cos t P + \sin t X,

$\frac 12\left(X^2 + P^2\right): X\mapsto \cos t X - \sin t P,\, P\mapsto \cos t P + \sin t X,$

ω = 1

$\omega = 1$

这被称为挤压运算符，其中

\pm S = \pm \frac{1}{2} (X P + P X) : X \mapsto e^{\pm t} X, P \mapsto e^{\mp t} P,

$\pm S = \pm\frac 12\left(XP+PX\right): X\mapsto e^{\pm t}X,\, P\mapsto e^{\mp t}P,$

挤压

+ S (- S)

$+S\,\left(-S\right)$

。

P (X)

$P\,\left(X\right)$

可以通过应用和来构建任何形式哈密顿量。添加和可以构建任何二次哈密顿量。进一步添加（非线性）克尔哈密顿量 $aX+bP+c$ $X$ $P$ $S$ $H$ 允许创建任何多项式哈密顿量。

{(X^{2} + P^{2})}^{2}

$\left(X^2 + P^2\right)^2$

$j$ $k$

\pm B_{j k} = \pm (P_{j} X_{k} - X_{j} P_{k}) : A_{j} \mapsto \cos t A_{j} + \sin t A_{k}, A_{k} \mapsto \cos t A_{k} - \sin t A_{j}

$\pm B_{jk} = \pm\left(P_jX_k - X_jP_k\right): A_j\mapsto \cos tA_j + \sin tA_k,\, A_k\mapsto \cos tA_k - \sin tA_j$

A_{j} = X_{j}, P_{j}

$A_j = X_j, P_j$

A_{k} = X_{k}, P_{k}

$A_k = X_k, P_k$

以上操作形成用于连续可变量子计算的通用门集。更多细节可以在这里找到

要实现这些unit：

$D\left(\alpha\left(t\right)\right)$ $\varepsilon$ $j$ $\alpha\left(t\right) = i\int_{t_0}^t\int j\left(r, t'\right)\cdot\varepsilon e^{-i\left(k\cdot r - w_kt'\right)} dr\, dt'$ $X$ $\alpha$ $P$ 通过虚部 $\alpha$ 。

由于系统是谐波振荡器，因此可以通过简单地让系统自行扩展来应用相移。也可以通过使用物理移相器来执行。

压缩是一个难点，需要通过实验加以改进。这样的方法可以在例如可以找到这里和这里是使用压缩光的有限量的一项实验。挤压的一种可能方法是使用Kerr $\left(\chi^{\left(3\right)}\right)$ 非线性。

这种相同的非线性也可以实现克尔·哈密顿量。

毫无疑问，分束器操作是使用分束器执行的。

— Mithrandir24601
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