什么是量子纠缠？它在量子纠错中起什么作用？

我想了解什么是量子纠缠，以及它在量子纠错中起什么作用。

注意：根据@JamesWootton和@NielDeBeaudrap的建议，我在这里针对经典类比问了一个单独的问题。

当变量看起来是随机的时，就会发生变量之间的经典相关性，但是发现它们的值在某种程度上系统地一致（或不同意）。但是，总会有人（或某物）“确切地”知道在任何给定情况下变量在做什么。

变量之间的纠缠相同，除了最后一部分。随机性实际上是随机的。在测量之前，完全不确定随机结果。但是无论如何，这些变量尽管可能被星系隔开，但仍然知道它们是一致的。

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那么这对纠错意味着什么呢？让我们思考纠错一个简单的启动位。

存储经典位时，您需要担心的错误种类包括位翻转和擦除。因此，某些事情可能会使您0成为1，反之亦然。否则您的位可能会在某个地方徘徊。

为了保护信息，我们可以确保逻辑位（我们要存储的实际信息）不仅仅集中在单个物理位上。相反，我们将其散布开来。因此，我们可以使用简单的重复编码，例如，在多个物理位上复制信息。即使某些物理位已失败，这也使我们仍然可以获取信息。

这是纠错的基本工作：我们散布我们的信息，以使错误很难将其弄乱。

对于qubit，还有更多的错误需要担心。例如，您可能知道量子位可以处于叠加状态，而测量值会改变这些状态。因此，不必要的测量是环境与之相互作用（因此在某种意义上“注视”我们的量子位）引起的另一种噪声源。这种噪声称为退相干。

那么这如何影响事情呢？假设我们对基比特使用重复编码。因此，我们替换 与我们期望的逻辑量子态，| 000 ... 000⟩，在许多物理量子位上重复，并替换| 1 ⟩带| 111 ... 111⟩。这再次防止了位翻转和擦除，但是它使得杂散测量变得更加容易。现在环境的措施是否我们| 0 ⟩或| 1 ⟩通过查看任何许多量子位。这将使去相干的效果更强，这根本不是我们想要的！$|0\rangle$$|000...000\rangle$$|1\rangle$$|111...111\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$

要解决此问题，我们需要使去相干性很难干扰我们的逻辑量子位信息，就像我们很难进行位翻转和擦除一样。为此，我们必须加大测量逻辑量子位的难度。当然，我们很难在任何时候都无法做到这一点，但是对于环境而言，要轻松地做到这一点也太难了。这意味着确保测量单个物理量子位不会告诉我们有关逻辑量子位的任何信息。实际上，我们必须做到这一点，以便需要测量整个量子位，并比较它们的结果以提取有关该量子位的任何信息。从某种意义上讲，它是一种加密形式。您需要足够的拼图才能知道图片是什么。

我们可以尝试经典地做到这一点。信息可以在许多位之间以复杂的关联分布。通过查看足够的位并分析相关性，我们可以提取一些有关逻辑位的信息。

但这不是获取此信息的唯一方法。正如我之前提到的，传统上总会有某个人或某事已经知道一切。无论是一个人，还是执行加密时所引起的空中模式都没关系。无论哪种方式，信息都存在于我们的编码之外，这本质上是一个无所不知的环境。它的存在意味着退相干发生了无法弥补的程度。

这就是为什么我们需要纠缠。有了它，我们就可以在量子变量的真实和不可知的随机结果中使用相关性将信息隐藏起来。

纠缠是量子信息和量子计算的自然组成部分。如果它不存在---如果您尝试以不会发生纠缠的方式做事---那么量子计算将不会给您带来任何好处。如果量子计算机正在做一些有趣的事情，它将产生很多纠缠，至少是副作用。

但是，这并不意味着纠缠是“使量子计算机发展的原因”。纠缠就像机器的旋转齿轮：如果它们不转动，什么也不会发生，但这并不意味着使这些齿轮快速旋转就足以使机器按照您的要求工作。（纠缠是通过这种方式进行通信的原始资源，但就任何人而言，并不是用于计算。）

对于量子误差校正和计算而言都是如此。像所有形式的纠错一样，量子纠错通过在较大的系统中分布信息来进行工作，尤其是在某些可测量信息的相关性中。纠缠只是量子系统相关的通常方式，因此，一个好的量子纠错码会涉及很多纠缠也就不足为奇了。但这并不意味着试图像某种氦气球那样“使系统充满纠缠”，对保护量子信息是有用或有意义的。

虽然有时有时会根据纠缠对量子误差校正进行模糊描述，但更重要的是它涉及如何使用不同的“可观察对象”进行奇偶校验。描述这一点的最重要工具是稳定器形式。稳定器形式主义可用于描述一些具有大量纠缠的状态，但更重要的是，它使您可以相当容易地推断出多量子位属性（“可观”）。从这个角度来看，人们可以了解到，量子纠错与自旋哈密顿主义者的低能多体物理学有着更为紧密的联系，而不仅仅是一般的纠缠。

没有经典的等效于纠缠。纠缠也许最好用狄拉克（bra-ket）表示法来理解。

每个量子位可以处于（ket）状态或状态| 1 ⟩或在叠加α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩其中α和β是复杂的数字，满足| α | 2 + | β | 2 = 1。如果有两个量子位，则2量子位系统的基本状态为|。0 ⟩＆CircleTimes; | 0 ⟩，| 0 $\left|0\right>$$\left|1\right>$$\alpha\left|0\right> + \beta \left|1\right>$$\alpha$$\beta$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$\left|0\right> \otimes \left|0\right>$， | 1 ⟩＆CircleTimes; | 0 ⟩和 | 1 ⟩＆CircleTimes; | 1 ⟩。为了简化表示法，物理学家通常将它们写为 |。00 ⟩， | 01 ⟩， | 10 ⟩，并且 | 11 ⟩。因此处于状态 | 01 ⟩意味着，第一量子比特处于状态 | 0 ⟩和该第二量子位处于状态 | 1 ⟩。$\left|0\right> \otimes \left|1\right>$$\left|1\right> \otimes \left|0\right>$$\left|1\right> \otimes \left|1\right>$$\left|00\right>$$\left|01\right>$$\left|10\right>$$\left|11\right>$$\left|01\right>$$\left|0\right>$$\left|1\right>$

现在考虑类型的叠加。01 ⟩ + β | 10 ⟩。这意味着第一个qubit处于状态| 0 ⟩概率| α | 2并处于状态| 1 $\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$$\left|0\right>$$|\alpha|^2$$\left|1\right>$否则，而该第二量子位是始终处于相反的状态下，第一个是在：两个粒子纠缠。

无关紧要的是，在此示例中，纠缠的qubit恰好处于相反的状态：它们也可能处于相同的状态而仍然被纠缠。重要的是它们的状态不是彼此独立的。这给物理学家造成了极大的头痛，因为这意味着量子位（或携带它们的粒子）不能同时具有严格的局部属性，并不能被称为现实主义的概念所控制（将其状态视为内在属性）。爱因斯坦著名地将由此产生的悖论（如果您仍然假设自己具有流动性和现实主义）称为“远距离的怪异动作”。

纠缠在量子纠错中没有特殊作用：纠错必须在计算基础上对每个状态有效（不存在纠缠）。然后，它也自动适用于这些状态（可能是纠缠状态）的叠加。

对于称为pure的特定类型的代码，纠缠的存在是量子误差校正（即校正影响一定数量子系统的所有误差）的必要和充分要求。

回想一下一个量子纠错码的Knill-Laflamme编写条件，以便能够检测一组特定的错误$\{E_\alpha\}$：挑选任何标准正交基$|i_\mathcal{Q}\rangle$跨越代码空间。然后，错误$E_\alpha$可以检测当且仅当

$$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$$

注意，$C(E_\alpha)$是一个常数，它仅依赖于特定的错误$E_\alpha$，但不能在$i$和$j$。（这意味着误差$E_\alpha$影响以相同的方式代码的子空间的所有状态）。在的情况下$C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$，将码如果称为纯。考虑的许多稳定器代码都是这种形式，但不是Kitaev的复曲面代码。

让我们假设一个错误模型，在该模型中，我们仅对错误所作用的子系统数量感兴趣。如果我们的代码可以检测到所有的错误$E_\alpha$该行为最多$(d-1)$子系统非平凡，代码据说有距离 $d$。作为结果，影响到错误的任何组合$\lfloor(d-1)/2\rfloor$子系统可被校正。

下面是对于距离的纯码$d$，趴在代码子空间的每个矢量，必须最大限度地纠缠在任何bipartition其较小的子系统最多有大小$(d-1)$：看到这一点，请注意，对于每个错误$E_\alpha \neq \mathbb{1}$和矢量$|v_\mathcal{Q} \rangle$子空间（我们ONB被任意选择），一个有

$$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$$

因此上至多所有可观测量$(d-1)$当事人正在消失，并在所有密度减小矩阵$(d-1)$各方必须最大限度地混合。这意味着$|v_\mathcal{Q}\rangle$对于$(d-1)$方与其他方的任何选择，v Q max最大地纠缠在一起。

附录（足够）：等同于等式。（1）：所有错误$E_\alpha$作用于小于$d$地方都可以检测，当且仅当所有$|v\rangle, |w\rangle$在代码子空间以下的条件成立，

$$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$$

在纯代码的情况下，以上表达消失了。因此，如果一个子空间中的所有状态（d-1）与其他状态的所有划分的每个状态都最大程度地纠缠在一起，那么它就是距离$d$的纯代码。

tl; dr：对于大距离$d$，纯代码包含高度纠缠的状态。这是代码存在的必要和充分的要求。

附录：我们进一步研究了这个问题，可以在论文《最大距离和高度纠缠子空间的量子代码》中找到详细信息。需要权衡：量子代码可以纠正的错误越多，代码空间中的每个向量都必须纠缠得越多。这是有道理的，因为如果信息没有分布在许多粒子之间，则环境（通过读取几个量子位）可以恢复代码空间中的消息。由于无克隆定理，这必然会破坏编码消息。因此，高距离需要高纠缠度。

这是一种思考纠缠在量子代码中的作用的方法，我认为这是对Felix Hubers响应的补充。

假设我们处于最大纠缠状态$|\Psi\rangle_{RQ}$和记录中的$Q$系统进入一些量子纠错码。假设代码将$Q$记录到子系统$S_1,S_2,S_3$，以便可以校正任何一个子系统的擦除（我已经举了一个简单的例子，但是可以推广）。

然后，有一个关于纠错条件的熵思考方法（与更代数的Knill-Laflamme条件相比）。具体来说，如果

$$I(R:S_3) = 0$$

然后得出可以从S 1 S 2恢复$Q$结论。有关此事实的详细介绍，请参见例如arXiv：quant-ph / 0112106。$S_1S_2$

使用这种熵方法进行纠错时，存在相当直接的途径来理解代码中的纠缠。例如，我们可以证明

$$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$$

如下。首先，我们根据其定义写出这些共同信息，

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$$

我们将引入净化系统$X$，以使$RS_1S_2S_3X$是纯净的。然后使用纯度我们可以写

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$$

注意，由于我们可以从S 1 S 2中恢复$Q$，所以I （R ：S 3 X ）= I （R ：X ）= 0。在上面使用$S_1S_2$$I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

$$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$$

$2 \log d_R$$S_3$$S_1$$Q$$S_3$$Q$$S_3$$2\log d_R$$2\log d_R$值得纠缠。类似的直觉也出现在arXiv：quant-ph / 0608223中。更确切地说，我们考虑数量$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$，其中一些基本操作可以揭示

$$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$$

但是我们注意到 $I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ 以来 $S_1S_3$ 允许恢复 $Q$，而 $I(R:S_1)=0$通过熵纠错条件。这个下界$S(S_3) + S(S_3|X)$ 所以下界 $I(S_1S_2:S_3)$。