为什么我们使用我们做的标准门设置？

通常用于量子计算的门集由单个量子位Cliffords（Paulis，H和S）以及受控NOT和/或受控Z组成。

超越Clifford，我们希望具有完整的单量子位旋转。但是，如果我们的目标是最小的，那么我们就选择T（Z的第四根）。

门装置的这种特殊形式会弹出所有内容。例如IBM的Quantum Experiment p。

到底为什么要这些门？例如，H做X和Z之间的映射工作。S同样做Y和X之间的映射工作，但因子也被引入。为什么不使用类似于Hadamard的ary而不是S？还是为什么不使用Y的平方根而不是H？当然，从数学上讲，这是等效的，但是按照惯例，它似乎更加一致。（X + Y ）/ $-1$$(X+Y)/\sqrt{2}$

为什么我们的非Clifford门是Z的第四根？为什么不选择X或Y的第四根？

哪些历史惯例导致了闸门设置的这种特殊选择？

任何写过论文并问自己是否可以改进表示法的人，或者对分析进行一些不同的表达以使其更加优雅，都熟悉表示法，描述和分析的选择可能是偶然的事实。没有深厚的动机。它没有任何问题，只是没有强有力的理由可以采用特定的方式。在更关心（可能是出于理性）完成工作而不是呈现尽可能清晰的画面的大型社区中，这将一直存在。

我认为，对这个问题的最终答案将遵循这些思路：这主要是历史性的事故。我怀疑是否存在任何深思熟虑的门集保持原样的原因，还有比我们谈论贝尔状态比状态。 | Ψ-⟩=（|01⟩-|10⟩） /$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

但是我们仍然可以考虑事故是如何发生的，以及我们是否可以从一些系统的思维方法中学到一些东西，而这可能会导致我们进入那里。我希望这些原因最终来自计算机科学家的文化优先考虑，深刻和肤浅的偏见都在我们描述事物的方式中起作用。

贝尔州题外话

如果您愿意，我想两个贝尔状态和的示例，作为最终任意约定如何实现的指示性示例之所以偶然发生，部分是由于没有深厚的数学根源的偏见。| Ψ -$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

与，一个明显原因是前者更对称。当我们为添加两个组件时，显然不需要捍卫为什么要像我们这样编写它。相反，我们可以轻松地用相反的符号定义，这与动机的好坏没有关系选择。这就好像在定义时，似乎在做出更多选择。| Ψ - ⟩ | Φ + ⟩ | Ψ - ⟩ = （| 10 ⟩ - | 01 ⟩ ）/$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ | Ψ-⟩=（|01⟩-|10⟩） /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ | Ψ-$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

在的情况下，甚至基础的选择都比较灵活：我们可以编写并获得相同的状态。但是如果开始考虑本征态的运算符，事情就会开始变得更糟：。这看起来仍然很对称，但是很显然我们选择的基础在定义过程中扮演着重要角色。| Φ + ⟩ ：= （| + + ⟩ + | - - ⟩ ）/$\lvert \Phi^+ \rangle$ | ±我⟩：=（|0⟩±我|1⟩） /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ ÿ| Φ+⟩=（|+我⟩|-我⟩+|-我⟩|+我⟩） /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ | Φ+$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

这个笑话在我们身上。之所以似乎“更加对称”比是因为简直是最少的对称双量子位状态，这使得它更好比更有动机，而不是动机更少。所述状态是独特的反对称状态：独特的状态，这是的交换操作的特征向量，并且因此在用于量子位状态区分性，除其他事项外的受控SWAP测试牵连。| Ψ - ⟩ | Ψ - ⟩ | Φ + ⟩ | Ψ - ⟩ - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$

• 我们可以将描述为一个全局相位为实际上代表任何单量子位状态和正交状态，这意味着使它有趣的属性独立于基础的选择。（| α ⟩ | α ⊥ ⟩ - | α ⊥ ⟩ | α ⟩ ）/$\lvert \Psi^- \rangle$ | α⟩| α⊥$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• 即使您用来写状态的全局阶段，也不会影响的定义，不会超过全局阶段。并非如此：作为读者的练习，如果，那么什么是吗？| Ψ - ⟩ | Φ + ⟩ | 1 ' ⟩ = 我| 1 ⟩ （| 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ）/$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

同时，只是两个量子位（SWAP操作的特征向量的子空间）在三维对称子空间中的一个最大纠缠状态，因此在原理上没有比说 。$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

在学习了关于贝尔状态的一两件事后，很明显，我们对兴趣仅是由表面的符号表示法引起的，而不是任何真正有意义的数学性质。当然，这比更为随意。偏爱的唯一明显动机是社会学上与避免减号和虚构单位有关的原因。我能想到的唯一正当理由是文化上的：特别是为了更好地适应学生或计算机科学家。$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

谁订购了CNOT？

您问为什么我们不多讨论。对我来说，您还会问一个更有趣的问题：当做很多相同的事情时，我们是否谈论过？我已经看到实验物理学家光给学生，甚至谁在进行描述会谈在标准的基础状态作为执行阿达玛门：但它是一个门竟是更自然的他。显然，运算符也与Pauli运算符更直接相关。一位认真的物理学家可能会好奇，我们过多地住在Hadamard上。$(X + Y)\big/\sqrt 2$$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y$$\sqrt Y$$\sqrt Y$$\sqrt Y$

但是房间里有一头更大的大象-当我们谈论CNOT时，为什么要谈论CNOT，而不是另一个纠结门哪个张量因子对称，或者更好，但与许多物理系统的自然动力学关系更密切？更不用说a，例如或其他此类变体。$\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

当然，原因是我们对计算本身而不是物理本身特别感兴趣。我们之所以关心CNOT，是因为它如何转换标准基础（该基础不是出于数学或物理原因而是出于以人为中心的原因而被首选）。从计算机科学家的角度来看，上面的门有点神秘：它的用途并不明显，而且更糟的是，它充满了棘手的复系数。门甚至更糟。相比之下，CNOT是一个排列运算符，充满1和0，以与计算机科学家显然相关的方式排列标准基础。$U$$U'$

尽管我在这里很有趣，但最终这是我们正在研究的量子计算。物理学家可以对基本操作的生态学有更深入的了解，但是计算机科学家最终关心的是如何将原始事物组合成涉及经典数据的可理解程序。这意味着只要他们可以从较低的逻辑层次中得到想要的东西，就不必在较低逻辑层次上过多地关心对称性。

我们谈论CNOT是因为它是我们要花费时间思考的大门。从物理角度来看，在许多情况下，门（例如和是我们为实现 CNOT 所要考虑的操作，但是CNOT是我们关心的事情。$U$$U'$

深而不是那么深的理由更喜欢Hadamard门

我希望计算机科学家的优先考虑会激发我们的许多约定，例如为什么我们谈论而不是。$(X + Z)\big/\sqrt 2$$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

对于不熟悉量子信息论的计算机科学家来说，Hadamard运算已经有点吓人了。（它的使用方式听起来像是不确定性，甚至使用了无理数！）但是一旦计算机科学家克服了最初的厌恶，哈达玛门确实具有他们想要的特性：至少它只涉及实系数，它是自反的，甚至可以只用实系数来描述本征基。$H$

Hadamard经常出现的一种方式是描述在标准基础和'共轭基础（即（运算符的本征基，而不是运算符的本征基）-所谓的“位”和“相位”基，这是两个共轭基，您只能使用实系数来表示。当然，| + ⟩ ，| - ⟩ X ÿ $\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$$\sqrt Y$还会在这些基础之间进行转换，但是如果执行两次，也会引入非平凡的转换。如果您想考虑“在可能存储信息的两个不同基础之间切换”，那么Hadamard门更好。但是，只有在您认为拥有

• 门在的标准基础和非常特定的基础之间转换;| + ⟩ ，| - $H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• 如果您特别关心阶数为。$H$$2$

您可能会提出抗议，并说考虑在“位”和“相位”基准之间切换是很自然的。但是，无论如何，我们从何处得到“位”和“相位”两个特定基础的概念？我们将选为'the'相位基础的唯一原因（例如与）是因为它可以表示在标准基础上只有实系数。至于偏爱阶运算符与切换的概念啮合，这似乎表明特别喜欢通过“翻转”而不是可逆的基础来考虑事物。这些优先事项损害了计算机科学的利益。| + 我⟩ ，| - 我⟩ $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$

与与之间的情况不同，计算机科学家确实有一个非常好的高级论证，它倾向于使用不是| Ψ - ⟩ ħ $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$（X+Y） /$\sqrt Y$：Hadamard门是布尔傅立叶变换的统一表示（也就是说，它是对量子位的量子傅立叶变换）。从物理角度看，这不是很重要，但是从计算角度看，这是非常有用的，并且量子计算和通信中的很大一部分理论结果最终都取决于这一观察结果。但是，布尔傅里叶变换已经在计算机科学的不对称性，基于标准基础的重要性以及仅使用实系数的情况下陷入困境：永远不会考虑诸如这样的运算符基于这些理由。$(X + Y)\big/\sqrt 2$

对角论证

如果您是计算机科学家，一旦拥有Hadamard和CNOT，剩下的就是将那些令人讨厌的复杂阶段归类为事后想法。当然，这些阶段非常重要。但是，仅当我们谈论相对阶段的方式揭示了对该想法的不满。即使将标准基础描述为存储信息的“位”基础，也强烈强调无论“阶段”是什么，这都不是您考虑存储信息的通常方式。各种阶段的东西要处理的后处理振幅大小的“真正的”业务; 后面对一个可以将信息存储在一个以上的基础事实。如果我们能帮助的话，我们甚至根本不谈论纯粹的虚构相对阶段。

使用对角线运算符，您可以轻松应对相对相位。它们的优点是（相对于标准基础而言）稀疏并且仅影响相对阶段，这毕竟是我们在此阶段要解决的所有细节。因此。完成此操作后，为什么还要执行更多操作？当然，我们可以像它们考虑任意旋转（因为欧拉分解的，我们确实发挥了一些口头上这些操作）和任意轮换，这将激励和。但是对于计算机科学家来说，这些实际上并没有增加任何兴趣，因为计算机科学家认为这项工作已经完成。 Xÿ4$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$ 4$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

现在还不算太早-因为计算机科学家们只要能够证明有理由继续前进到更高层次，就不会真正在乎所使用的原始操作到底是什么。

摘要

我认为使用特定的门控装置可能没有非常有趣的身体动机。但是，当然有可能探索出于心理原因的原因。以上是在长期经验的指导下朝这个方向的推测。