在随机基准测试中使用保真度的目的

通常，在比较两个密度矩阵和（例如，当是理想的实验实现）时，这两个状态的接近度由量子态保真度并将不忠度定义为。 $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

同样，当比较门的实现与理想版本的接近程度时，保真度变为

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$ 其中

d ψ

$d\psi$ 是纯状态的Haar测度。毫不奇怪，这会变得相对不愉快。

现在，在密度矩阵的情况下，让我们定义一个矩阵，或者在处理门时定义。然后，使用Schatten规范¹，例如，，也可以计算其他准则，例如菱形准则。 $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

这些准则通常比上述保真度更容易计算²。更糟糕的是，在随机基准计算中，不忠度甚至似乎不是一个很好的衡量标准，但是当我查看量子处理器的基准值时，每次见到的数字都是如此。³

因此，当保真度似乎没有帮助意义并且其他方法（例如Schatten规范）更容易计算时，为什么保真度是在量子处理器中计算门误差的首选值（使用随机基准）在经典计算机上？

^{1 的Schatten p范数 $M$ 是 $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2，即在（经典）计算机上插入噪声模型并进行仿真}

^{3如IBM的QMX5}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
source

Nielsen和Chuang在他们的“量子计算和量子信息”一书中（第9章）介绍了量子信息的距离度量。

令人惊讶的是，他们在第9.3节中说“量子通道如何很好地保存信息？” 将保真度与追踪规范进行比较时：

使用上一节中建立的走线距离的属性，在大多数情况下，基于走线距离进行并行开发并不困难。但是，事实证明，保真度是一种更容易计算的工具，因此，我们将自己局限于基于保真度的考虑因素。

我想这部分是为什么使用保真度的原因。作为静态距离度量，它似乎很有用。

忠诚度似乎也相对直接地扩展到国家团体

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

在状态准备系统的概率，和感兴趣的特定噪声信道，。 $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

纠缠保真度也有扩展，可以衡量通道保留纠缠的程度。给定状态假定以某种方式与外部世界纠缠，并给出状态的净化（虚拟系统），使得是纯净的。该状态在通道受到动态影响。质数表示应用量子运算后的状态。是系统上的身份映射。 $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

本章还提供了一些公式，以简化保真度和纠缠度保真度的计算。

纠缠保真度的吸引人的特性之一是，有一个非常简单的公式可以使它得以精确计算。

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

其中“操作元素” 满足完整性关系。也许其他人可以对更实际的实现发表评论，但这是我从阅读中学到的。 $E_i$

更新1：Re M.Stern

参考Nielsen和Chuang。他们说：“您可能想知道为什么定义右侧出现的保真度是平方的。对此问题有两个答案，一个简单，一个复杂。简单的答案是，包括这个平方项使得集成保真度更自然地与纠缠保真度相关，如下所示：更复杂的答案是，量子信息目前处于婴儿期，尚不完全清楚信息等概念的“正确”定义是什么但是，正如我们将在第12章中看到的那样，集合平均保真度和纠缠保真度产生了丰富的量子信息理论，这使我们相信这些措施是正确的，

要回答你的第二个问题，为什么不看的保真度，还有在“量子态的合奏之间区分性措施”我认为这是在PhysRevA但有一个版本的arXiv提到一个很好的点这里。 $\bar{\rho}$

他们关于第4页提到的点，是假设有两台合奏和碰巧具有相同的总体平均密度矩阵，，那么保真度不能区分它们。 $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

更新2：Re Mithrandir24601 因此，对门保真度的一种定义是通过考虑给定输入状态下通道的最坏情况行为得出的。 $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

由于两个参数都具有凹度，因此您可以在这种最小化中将状态限制为纯状态，第二部分中的等效项只是符号。

在定义门的实现方式方面，通过定义通道，可以更好地了解单一门的最坏情况 $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

在您给出的公式和您链接的论文中，它们通过适当的度量在积分。这使我觉得这应该是代替作为平均保真度，你可以想像可能是在实际的实验更加有用，特别是如果你重复实验。不可能达到确切的最小值。 $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

迈克尔·尼尔森（Michael Nielsen）在这里有一份arXiv版本的论文，他谈到了平均门保真度。

门的保真度和提到的门的平均保真度与您最初提供的公式之间的唯一额外差是迹线的平方：。与更新1中一样，某些人更喜欢使用作为保真度而不是，因为它可以更容易地与纠缠保真度联系起来。我确实需要阅读更多有关该内容的信息才能正确评论。 $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

（）另外：我认为将其称为“ Haar措施”可能会产生误导，我也在论文中看到过。据我所知，对于维希尔伯特空间，纯态空间通常在拓扑上为。显然，它们使用的度量是从商对的haar度量继承而来的，所以我在这里阅读：https://physics.stackexchange.com/a/98869/41998。 $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— ult
source

这就给出了合理的解释，说明为什么它可能对状态有用，并且关于纠缠保真度的一点肯定很有趣。但是，我遇到的问题是（按本文所述）对门进行相同的操作不会以相同的方式起作用。（除非我想念其他东西）

— Mithrandir24601

您能为您提到的乐团保真度提供参考吗？为什么从混合状态的保真度不同

？

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

— M. Stern，

@ M.Stern我已将评论移至更新。

— 卑鄙的

@ Mithrandir24601抱歉，回复速度很慢，我一直在努力找时间阅读您链接的论文，并抽出时间写回复！请参阅更新

— 2。– ult讽

至于你的说法，你是对的-我只是一个懒惰的物理学家。（据我所知）这是一种Haar量度，但是将其称为“针对各州的Haar量度”是的，不完全是有史以来技术上最准确的陈述。更令人担忧的是，arXiv当前似乎已下降:(

— Mithrandir24601